Green-sell.info

Новые технологии
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Классификация задач математического программирования

Классификация задач математического программирования

Дата добавления: 2014-11-27 ; просмотров: 4792 ; Нарушение авторских прав

Условно задачи математического программирования, которые заключаются в исследовании функции на экстремум, на переменные которой наложены определенные ограничения, можно классифицировать следующим образом:

· задачи детерминированного и стохастического программирования (в зависимости от присутствия вероятностных переменных);

· задачи динамического и статического программирования (в зависимости от учета фактора времени);

· задачи линейного и нелинейного программирования (в зависимости от вида целевой функции и ограничений).

Задачи, в которых переменные, а также параметры ограничений и целевой функции не являются случайными величинами, называются детерминированными. Например, если в экономико-математической модели величины заданы своими математическими ожиданиями, то такая задача относится к детерминированным. Задачи, в которых критерий оптимальности и ограничения содержат случайную составляющую, т.е. включают неопределенность, называются стохастическими.

Задачи, в которых нахождение оптимального решения можно рассматривать как мгновенный акт, называются статическими. Задачи, в которых нахождение оптимального решения экономико-математической модели можно рассматривать не как застывшую задачу, а в динамике, находя решение на несколько периодов времени, называются динамическими. В динамическом программировании рассматриваются методы, позволяющие путем многошаговой оптимизации получить общий оптимум. Например, если субъект в ходе принятия решения изменяет свое информационное состояние, получая или теряя информацию, то в этом случае решение целесообразно принимать поэтапно (многошаговое решение). Например, если рассматривается план развития предприятия до 2010 года, должны быть обоснованы значения соответствующих микроэкономических показателей не только на 2010 год, а и на все промежуточные годы, т.е. учтена динамика развития хозяйственной деятельности данного предприятия.

Задачи, в которых критерий оптимальности (целевая функция) и система ограничений являются линейными, а переменные принимают любые неотрицательные значения, называются задачамилинейного программирования (ЗЛП). В противном случае возникает задача нелинейного программирования. Важным преимуществом задач линейного программирования является то, что для их решения разработан универсальный метод – симплекс-метод. Для некоторых классов ЗЛП разработаны более эффективные методы решения. Например, распределительные задачи можно решить симплекс-методом, однако более эффективным для их решения является метод потенциалов.

Линейные модели зачастую являются неадекватными природе моделируемого объекта или процесса, поэтому приходится строить нелинейные модели. Решать нелинейные задачи более сложно, чем линейные, поскольку нет универсальных методов решения таких задач. Для некоторых видов нелинейных задач разработаны численные специальные эффективные методы решения, такие как метод наискорейшего спуска, метод дробления шага. Однако, на практике чаще используют линейные экономико-математические модели. Часто нелинейные зависимости аппроксимируют линейными. Модели линейного программирования находят широкое применение при решении плановых задач в различных сферах хозяйственной деятельности.

Задачи, в которых критерий оптимальности является суммой функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, называются задачамисепарабельного программирования.

Задачи, в которых на переменные наложено условие целочисленности, называются задачамицелочисленного программирования. Многие экономические задачи характеризуются тем, что объемы управляемых ресурсов могут принимать только целые значения, такие как автомобили, бытовая техника и другие объекты. Особую группу составляют задачи дискретного программирования, в которых переменные могут принимать отдельные значения, например 0 или 1.

Задачи, в которых критерий оптимальности является выпуклой функцией, называются задачамивыпуклого программирования. Для таких задач существует ряд эффективных и обоснованных методов их решения. ЗЛП являются частным случаем задач выпуклого программирования.

Задачи, в которых критерий оптимальности является квадратичной функцией и система ограничений линейная, называются задачамиквадратичного программирования.

Рассматривают так же отдельные классы задачи дробно-линейного программирования, когда система ограничений являются линейной, а целевая функция – дробно-линейная; задачи параметрического программирования, когда система ограничений является линейной, а целевая функция содержит параметр.

Особый класс представляют задачи теории игр, которые широко применяются в рыночной экономике. Среди них наиболее изучены матричные парные игры.

Следует заметить, что многие классы параметрических задач стремятся преобразовать так, чтобы была возможность использовать для решения методы линейного программирования.

Классификация задач математического программирования

Основные понятия математического программирования.

Под оптимизацией понимают процесс выбора наилучшего варианта из всех возможных в данной ситуации. С точки зрения практики, методы оптимизации позволяют выбрать наилучший вариант конструкции, наилучший вариант распределения ресурсов и др.

В процессе решения задачи оптимизации обычно необходимо найти оптимальные значения некоторых переменных, определяющих данную задачу. Примерами таких переменных являются: численность исполнителей, станков, машин и др. Число переменных (обозначим их X1, X2. Хn, где n — число переменных) характеризует степень сложности задачи оптимизации.

Выбор оптимального решения или сравнение двух возможных решений проводится с помощью некоторой зависимой величины (функции), опре­деляемой переменными. Эта величина называется целевой функцией или критерием качества. В роли таких функций могут выступать различные показатели эффективности, например, приведенные затраты от просто­ев машин, приведенные затраты от содержания дополнительного оборудования, общий грузооборот или средняя стоимость перевозки тонны груза и др. Целевую функцию запишем в виде:

В процессе решения задачи оптимизации должны быть найдены такие значения переменных, при которых целевая функция имеет экстремум (максимум или минимум). Критерий в каждом конкретном случае выби­рается исходя из целевой направленности задачи исследования.

Примерами, целевой функции, встречающимися на практике, являют­ся прочность и масса конструкций, мощность установки, объем выпуска продукции, стоимость перевозок грузов, прибыль и др.

Если для отыскания оптимального решения достаточно просмотреть небольшое количество возможных вариантов, то решение значительно упрощается. Однако часто оказывается, что число вариантов так велико, что прямой перебор всех их является или весьма трудоемким, или даже практически невозможным. Обычно дело осложняется также тем, что на независимые переменные накладывается некоторые ограничения, которые должны быть выполнены. Эти ограничения могут касаться, например, общего числа располагаемых исполнителей или размеров капитальных вложений, максимально допустимого времени обслуживания и др.

Обозначим ограничения следующим образом:

Запись означает, что в ходе решения оптимизационной задачи сле­дует найти оптимальное значение «m» переменных с учетом налагаемых на них (m) ограничений. В общем случае как целевая функция, так и ограничения могут быть нелинейными функциями всех или некото­рых из рассматриваемых переменных.

Любое множество значений рассматриваемых переменных, удовлетворяющих всем ограничениям задачи, называют допустимым решением или планом. Допустимое решение, которое максимизирует или минимизирует целевую функцию, является оптимальным решениемили оптимальным планом.

1.2. Общая задача математического программирования.

Сформулируем общую задачу математического программирования.

Дадим количественную, математическую постановку этой задачи.

Найти значения «n» переменных X1, X2. Хn , которые неотрицательны

Xi 0, i=1,2,…,n

удовлетворяют «m» ограничениям:

и максимизируют функцию:

Z=F(X1,X2,…,Xn) MAX

Все многообразие встречающихся на практике случаев может быть сведено к описанной выше задаче.

Классификация задач математического программирования

В основе той или иной классификации лежит признак, по которому объекты разделяются или объединяются в классы.

Читать еще:  Проекты по программированию c

Признак первой (из двух предлагаемых) классификации задач матема­тического программирования — вид функции цели, вид ограничений и наличие или отсутствие целочисленности переменных, описывающих про­цесс или систему.

Если функция цели и ограничения являются линейными:

Z=F(X1,X2,…,Xn)=C1X1+C2X2+…CnXn MAX;

где (Ci),(Bj),(Aij) — известные постоянные, то данная задача является задачей линейного программирования.

Любая другая задача математического программирования, которая отличается от линейной или нелинейностью функции цели (или нелинейностью ограничений, или наличием требования целочисленности переменных), называется задачей нелинейного программирования.

Частным случаем задач нелинейного программирования являются задачи целочисленного программирования. От задач линейного программирования они отличаются только наличием условия целочисленности переменных X1, X2. Хn.

Если целевая функция задачи математического программирования квадратичная, но все её ограничения линейны, то такую задачу называют задачей квадратичного программирования. Линейные ограниче­ния, для данной задачи записываются так же как для задачи линейного программирования, а целевая функция имеет вид:

В качества примера рассмотрим следующую задачу квадратичного программирования:

Z=F(X1,X2)=X1*X2 MAX;

Отдельным классом задач математического программирования являются задачи динамического программирования. Эти задачи характеризуются многоэтапным процессом поиска оптимального решения.

В ходе поэтапного планирования многошагового процесса на каж­дом этапе оптимизируется лишь один шаг, но с учетом всех его последствий в будущем.

Например, планируется работа группы предприятий на несколько лет. Конечной целью является получение максимального объема продукции. В начале периода имеется запас средств производства (оборудование, финансы), с помощью которого можно начать производство. «Шагом» процесса планирования является хозяйственный год. Необходимо решить задачу распределения средств по предприятиям по годам плани­руемого периода.

Второй признак классификации задач математического программирования — конкретное их содержание. Поэтому в данном случае говорят о классификации задач оптимального управления и планирования.
По этому признаку, задачи математического программирования принято делить на следующие типы (рис. 1):

— задача управления запасами;

— задачи замены оборудования;

— задача выбора оптимальных режимов движения;

— задача выбора оптимальной структуры.

Распределительная задача формулируется следующим образом: имеется ограниченное количество ресурсов и ряд работ, которые не­обходимо выполнить в установленные сроки и с заданными показателями качества. Требуется найти такой вариант распределения ресур­сов по работам, при которой достигается экстремум показателя качества.

Примерами распределительных задач являются:

транспортная задача, в которой рассматривается вопрос об оптимальном прикреплении пунктов производства и пунктам потребления;

задача о назначении, в которой рассматривается вопрос об опти­мальном прикреплении производителя работ к объекту производст­ва;

задача о рюкзаке — которая рассматривает оптимальное размещение в нем (рюкзаке) набора взаимозаменяемых предметов (например, за­дача о загрузке самолета, задача о снаряжении экспедиции и др.);

задача o выборе рациона;

задача выбора применения ресурсов;

задача выбора типажа и другие задачи.

Задача управления запасами формулируется следующими образом: имеется некоторое количество запасов, хранение которых связано с расходами. Однако и отсутствие запасов иногда недопустимо или при­водит к расходам. Требуется найти такой размер запасов(или порядок их пополнения), при котором расходы будут минимальными.

В ходе решения задачи рассматриваются расходы на хранение, расхо­ды, связанные с отсутствием запасов, с их приобретением и продажей излишков.

Задача замены оборудования — состоит в решении вопроса: продолжить производить или эксплуатировать старое оборудование или же заменить его новым, более совершенным, т.е. решается вопрос построения оптимального плана технического переоснащения производ­ства.

Задача выбора оптимального режима движения заключается в выборе маршрута (координат и скорости), удовлетворяющего заданным ограничениям (по производству, по техническим параметрам движущегося объекта), проходящего в заданных условиях и оптимального по зат­ратам ресурсов (время, топливо, стоимость).

Задача поиска сводится к отысканию оптимального плана поиска объектов. Например: объектов противника, неисправностей, брака, полезных ископаемых и др.

В заключение еще раз подчеркнем большой экономический эффект от применения методов математического программирования на практике.

Классификация задач математического программирования

Задачи математического программирования можно разделить на группы в зависимости от характера целевой функции и типа ограничений, накладываемых на переменные. Метод поиска экстремума функции одной или нескольких переменных из области допустимых значений выбирают исходя из стратегии оптимизации.

Для задач математического программирования конечный алгоритм решения должен обеспечивать отыскание глобального оптимума или указывать на его отсутствие за конечное число шагов. Из-за большой размерности реальных задач преобладают стратегии последовательного поиска – как единственно возможный путь достижения результата.

Таблица 1.1. Классификация задач математического программирования

Область допустимых значений, заданная ограниченными интервалами изменения переменных

Приведенная группировка задач и методов [11] весьма условна, так как многие задачи могут быть отнесены к нескольким группам и решаться разными методами.

Принято выделять три основных вида общей задачи мате­матического программирования: каноническая задача математи­ческого программирования, задача нелинейного программирования и задача линейного программирования.

Отдельными классами задач математического программирования являются задачи целочисленного, параметрического и дробно-линейного программирования.

В канонической задаче математического программирования все ограничения представляют собой равенства

. (1.2)

Функции — заданные непрерывно дифференцируемые функции, называемые функциями ограничений; параметры — заданные действительные числа, называемые константами ограничений.

Задача канонического программирования заключается в максимизации целевой функции (1.1) при заданных ограничениях (1.2):

.

В задаче нелинейного программирования система ограничений состо­ит из условий двух типов: условий неотрицательности

, (1.3)

и ограничений в виде неравенств

(1.4)

Задача нелинейного программирования заключается в нахож­дении неотрицательных значений переменных, удовлетворяющих условиям (1.3), (1.4) и максимизирующих целевую функцию (1.1):

.

Среди задач нелинейного программирования наиболее глубоко изучены задачи выпуклого программирования. Это задачи, в результате решения которых определяется экстремум выпуклой функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.

В свою очередь, среди задач выпуклого программирования более подробно исследованы задачи квадратичного программирования. В результате решения таких задач требуется в общем случае найти максимум (или минимум) квадратичной функции при условии, что ее переменные удовлетворяют некоторой системе линейных неравенств или линейных уравнении либо некоторой системе, содержащей как линейные неравенства, так и линейные уравнения.

В задаче линейного программирования целевая функция является ли­нейной формой

, (1.5)

где с — заданный вектор-строка , и имеются ограничения двух типов: ограничения в виде неравенств

(1.6)

и условия неотрицательности

. (1.7)

В векторной форме система ограничений имеет вид

где А — заданная матрица размерности m×n

.

Таким образом, задача линейного программирования заключается в нахождении неотрицательных значений переменных, удовлетворяющих ограничениям (1.6), (1.7) и максимизирующих заданную линейную форму(1.5):

.

Отсюда видно, что задача линейного программирования является частным случаем задачи нелинейного программирования, в которой целевая функция и функции ограничений линейны.

Понятие математического программирования. Классификация задач математического программирования

Математическое программирование – это математическая дисциплина, в которой разрабатываются методы отыскания экстремальных значений целевой функции среди множества ее возможных значений, определяемых ограничениями.

Читать еще:  Языки программирования сверхвысокого уровня

Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа для поиска экстремума функции в задачах математического программирования оказываются непригодными.

Для решения задач математического программирования разработаны и разрабатываются специальные методы и теории. Так как при решении этих задач приходится выполнять значительный объем вычислений, то при сравнительной оценке методов большое значение придается эффективности и удобству их реализации на ЭВМ.

Математическое программирование можно рассматривать как совокупность самостоятельных разделов, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

В зависимости от свойств целевой функции и функции ограничений все задачи математического программирования делятся на два основных класса:

· задачи линейного программирования,

· задачи нелинейного программирования;

· задачи динамического программирования.

Если целевая функция и функции ограничений – линейные функции, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций нелинейна, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей нелинейного программирования.

Линейное программирование (ЛП) – один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого и начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программы) для ЭВМ» не имеет, т.к. дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться для решения математических, инженерных, экономических и др. задач.

Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linearprogramming». Одно из значений слова «programming» — составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом английского «linearprogramming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термины линейное программирование, нелинейное программирование, математическое программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми и поэтому будут сохранены.

Итак, линейное программирование возникло после второй мировой войны и стало быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а также математической стройности.

Можно сказать, что линейное программирование применимо для решения математических моделей тех процессов и систем, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира.

Линейное программирование применяется при решении экономических задач, в таких задачах как управление и планирование производства; в задачах определения оптимального размещения оборудования на морских судах, в цехах; в задачах определения оптимального плана перевозок груза (транспортная задача); в задачах оптимального распределения кадров и т.д.

Задача линейного программирования (ЛП), как уже ясно из сказанного выше, состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.

Существует несколько методов решения задач ЛП. В данной работе будут рассмотрены некоторые из них, в частности:

Графический метод решения задачи ЛП;

Решение задачи ЛП средствами табличного процессора Excel;

В большинстве инженерных задач построение математической модели не удается свести к задаче линейного программирования.

Математические модели в задачах проектирования реальных объектов или технологических процессов должны отражать реальные протекающие в них физические и, как правило, нелинейные процессы. Переменные этих объектов или процессов связанны между собой физическими нелинейными законами, такими, как законы сохранения массы или энергии. Они ограничены предельными диапазонами, обеспечивающими физическую реализуемость данного объекта или процесса. В результате, большинство задач математического программирования, которые встречаются в научно-исследовательских проектах и в задачах проектирования – это задачи нелинейного программирования (НП).

Метод множителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум (или минимум) функции при ограничениях-равенствах. Основная идея метода состоит в переходе от задачи на условный экстремум к задаче отыскания безусловного экстремума некоторой построенной функции Лагранжа.

Динамическое программирование представляет собой математические аппарат, позволяющий быстро находить оптимальное решение в случаях, когда анализируемая ситуация не содержит факторов неопределенности, но имеется большое количество вариантов поведения, приносящих различные результаты, среди которых необходимо выбрать наилучший. Динамическое программирование подходит к решению некоторого класса задач путем разложения на части, небольшие и менее сложные задачи. В принципе, задачи такого рода могут быть решены путем перебора всех возможных вариантов и выбора среди них наилучшего, однако часто такой перебор весьма затруднен. В этих случаях процесс принятия оптимального решения может быть разбит на шаги (этапы) и исследован с помощью метода динамического программирования.

Решение задач методами динамического программирования проводится на основе сформулированного Р.Э.Беллманом принципа оптимальности: оптимальное поведение обладает тем свойством, что каким бы ни было первоначальное состояние системы и первоначальное решение, последующее решение должно определять оптимальное поведение относительно состояния, полученного в результате первоначального решения.

Таким образом, планирование каждого шага должно проводится с учетом общей выгоды, получаемой по завершении всего процесса, что и позволяет оптимизировать конечный результат по выбранному критерию.

Вместе с тем динамическое программирование не является универсальным методом решения. Практически каждая задача, решаемая этим методом, характеризуется своими особенностями и требует проведения поиска наиболее приемлемой совокупности методов для ее решения. Кроме того, большие объемы и трудоемкость решения многошаговых задач, имеющих множество состояний, приводят к необходимости отбора задач малой размерности либо использования сжатой информации.

Динамическое программирование применяется для решения таких задач, как: распределение дефицитных капитальных вложений между новыми направлениями их использования; разработка правил управления спросом и запасами; составление календарных планов текущего и капитального ремонтов оборудования и его замены; поиск кратчайших расстояний на транспортной сети и т.д.

Пусть процесс оптимизации разбит на n шагов. На каждом шаге необходимо определить два типа переменных – переменную состояния S и переменную управления X. Переменная S определяет, в каких состояниях может оказаться система на данном k-м шаге. В зависимости от S на этом шаге можно применить некоторые управления, которые характеризуются переменной X. Применение управления X на k-м шаге приносит некоторый результатWk(S,Xk) и переводит систему в некоторое новое состояние S'(S,Xk). Для каждого возможного состояния на k-м шаге среди всех возможных управлений выбирается оптимальное управление X*k такое, чтобы результат, который достигается за шаги с k-го по n-й, оказался оптимальным. Числовая характеристика этого результата называется функцией Беллмана Fk(S) и зависит от номера шага k и состояния системы S.

Все решения задачи разбиваются на два этапа. На первом этапе, который называют условной оптимизацией, отыскиваются функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего.

После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый, производится второй этап решения задачи, который называется безусловной оптимизацией.

Читать еще:  Лексема это в программировании

В общем виде задача динамического программирования формулируется следующим образом: требуется определить такое управление X*, переводящее систему из начального состояния S0 в конечное состояние Sn, при котором целевая функция F(S0,X*) принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Особенности математической модели динамического программирования заключаются в следующем:

задача оптимизации формулируется как конечный многошаговый процесс управления;

целевая функция является аддитивной и равна сумме целевых функций каждого шага

выбор управления Xk на каждом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу Sk-1 и не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи);

состояние системы Sk после каждого шага управления зависит только от предшествующего состояния системы Sk-1 и этого управляющего воздействия Xk (отсутствие последействия) и может быть записано в виде уравнения состояния:

на каждом шаге управление Xk зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние системы Sk зависит от конечного числа переменных;

оптимальное управление X* представляет собой вектор, определяемый последовательностью оптимальных пошаговых управлений:

число которых и определяет количество шагов задачи.

Условная оптимизация. Как уже отмечалось выше, на данном этапе отыскиваются функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего в соответствии с алгоритмом обратной прогонки. На последнем n-м шаге найти оптимальное управление X*n и значение функции Беллмана Fn(S) не сложно, так как

где максимум ищется по всем возможным значениям Xn.

Дальнейшие вычисления производятся согласно рекуррентному соотношению, связывающему функцию Беллмана на каждом шаге с этой же функцией, но вычисленной на предыдущем шаге:

Этот максимум (или минимум) определяется по всем возможным для k и S значениям переменной управления X.

Безусловная оптимизация. После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый (на первом шаге k=1 состояние системы равно ее начальному состоянию S0), осуществляется второй этап решения задачи. Находится оптимальное управление на первом шаге X1, применение которого приведет систему в состояние S1(S,x1*), зная которое можно, пользуясь результатами условной оптимизации, найти оптимальное управление на втором шаге, и так далее до последнего n-го шага.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Общие вопросы теории оптимизации. Классификация задач математического программирования

Страницы работы

Содержание работы

1. Общие вопросы теории оптимизации

1. 1. Основные понятия и общие положения

Определим значение определения “оптимальный”. Оно построено на базе латинского слова optimus, переводимого как наилучший[1].

Рассмотрим определения термина “оптимизация”.

В [2] оптимизация определяется как “процесс нахождения экстремума функции, т. е. выбор наилучшего варианта из множествавозможных”.

Близкое по смыслу определение приведено в [3], где оптимизация определяется как нахождение наибольшего или наименьшего значения какой–либо функции или выбор наилучшего (оптимального) варианта из множества возможных.

Характерной особенностью обоих рассмотренных определений оптимизации является наличие в них двух частей: в первой части опре-деление дается на “математическом” языке, во второй – на общелите-ратурном.

Рассмотрим сначала вторые части определений. Они отражают одну из важнейших особенностей поведения людей. Действительно, часто цель, к которой стремится человек, может быть достигнута различными путями (в другой формулировке, может быть несколько вариантов достижения цели). И человек обычно стремится выбрать лучший из них.

Постоянная ограниченность всех ресурсов, которыми обладает человек (материальных, временных, денежных и др.), заставляет его быть природным “оптимизатором”, выбирающим наилучшее решение из нескольких возможных. (Вспомним в связи с этим пословицу: “рыба ищет, где глубже, а человек — где лучше”).

Очевидно, что выбор человеком неоптимального варианта ведет к тем или иным “потерям”.

Выбор человеком наилучшего варианта может осуществляться двумя способами: неформализованно и формализованно.

Неформализованный выбор осуществляется человеком интуитивно, исходя из здравого смысла и личного опыта (жизненного или профессионального). При этом в большинстве случаев человек не может объяснить, как он сделал свой выбор.

В отличие от него, формализованный выбор осуществляется по четким, однозначным рекомендациям. Такой выбор характеризуется тем, что разные люди в одинаковой ситуации осуществляют один и тот же выбор (выберут один и тот же вариант).

Принятие формализованных решений — это наука, которую можно (и нужно) изучать. Такая отрасль науки является частью математики, называемой математическими методами оптимизации. (Ряд авторов считает, что совокупность таких методов образует теорию оптимизации).

Формализованный выбор предусматривает учет всех существенных обстоятельств и цели выбора в форме так называемой задачи выбора или задачи оптимизации и последующее решение этой задачи. Задача выбора первоначально формулируется на обычном языке, а затем формализуется, т.е. записывается на “математическом” языке, позволяющем дать количественное описание интересов и возможностей человека, производящего выбор.

Рассмотрим математические конструкции, использующиеся при формализации задачи оптимизации.

Прежде всего, для реализации формализованного выбора вводится понятие критерий оптимизации или критерий оптимальности. Такое понятиеопределяется как некоторая количественная характеристика, отражающая понимание “наилучшего” у субъекта, осуществляющеговыбор.

(Отметим, что слово “критерий” производно от греческого слова kriterion , переводимого как “мерило”, “оценка”).

Роль критерия при формализованном выборе чрезвычайно велика, поскольку он позволяет придать четкий и однозначный смысл понятиям “лучший” или “наилучший”. (Образно говоря, введение критерия оптимальности позволяет перевести выбор наилучшего решения из плоскости “лучше — хуже” в плоскость “больше — меньше”).

Критерий выбирается человеком, принимающим решение. Критерий вводится таким образом, чтобы его значение позволяло оценить степень достижения желаемого результата. Для этого при введении критерия необходимо, во-первых, задать некоторую количественную характеристику, во-вторых, указать, большее или меньшее ее значение следует считать наилучшим.

В связи с этим критерий оптимальности обычно формулируется в виде двух групп слов, одна из которых отражает измеряемый качественный признак, а другая – требуемое “направление” выбора, например, минимум стоимости, минимум приведенных затрат, максимум прибыли, максимум производительности и т.д.

Отметим, что одно и то же предпочтение при выборе оптимального объекта может быть описано с использованием различных критериев оптимальности.

Пусть, например, необходимо ввести критерий, позволяющий выбирать вариант устройства, обладающего наибольшей надежностью. Если в качестве такого критерия принять вероятность безотказной работы устройства (на некотором интервале времени), то лучшим будет вариант, имеющий большее значение критерия. Если же в качестве критерия принять вероятность отказа, то лучшим будет вариант, имеющий меньшее значение критерия.

(Рекомендуем самостоятельно сформулировать критерии оптимального поведения (выбора) для рыбы и человека в рассмотренной выше пословице).

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector
×
×