Green-sell.info

Новые технологии
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Задача многокритериальной оптимизации

Задачи многокритериальной оптимизации

В практической деятельности часто встречаются задачи, заключающиеся в поиске лучшего (оптимального) решения при наличии различных несводимых друг к другу критериев оптимальности. Например, принятие решения о строительстве дороги в объезд города должно учитывать такие факторы, как выигрыш города в целом по соображениям экологии, проигрыш отдельных предприятий и фирм, например, из-за уменьшения проезжающих через город потенциальных покупателей и многие другие. Если такого рода задачи решаются методами математического программирования, то говорят о задачах многокритериальной оптимизации. Эти задачи могут носить как линейный, так и нелинейный характер. Поскольку методы решения таких задач излагаются ниже на примере линейных многокритериальных оптимизационных задач, это объясняет рассмотрение этой темы в данной главе учебного пособия.

Задачи многокритериальной оптимизации возникают в тех случаях, когда имеется несколько целей, которые не могут быть отражены одним критерием (например, стоимость и надежность). Требуется найти точку области допустимых решений, которая минимизирует или максимизирует все такие критерии. Если в подобного рода задачах речь идет не о разнородных критериях некоторой системы, а о сопоставлении однородных критериев разных ее подсистем (например, отрасли, группы населения и т.п.), то эти задачи называются задачами векторной оптимизации.

Обозначим 1-й частный критерий через , где — допустимое решение, а область допустимых решений — через Q. Если учесть, что изменением знака функции всегда можно свести задачу минимизации к задаче максимизации, то кратко задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать следующим образом:

(3.28)

(3.29)

Некоторые частные критерии могут противоречить друг другу, другие действуют в одном направлении, третьи — индифферентны, безразличны друг к другу. Поэтому процесс решения многокритериальных задач неизбежно связан с экспертными оценками как самих критериев, так и взаимоотношений между ними. Известен ряд методов решения задач многокритериальной оптимизации:

  • — оптимизация одного признанного наиболее важным критерия, остальные критерии при этом играют роль дополнительных ограничений;
  • — упорядочение заданного множества критериев и последовательная оптимизация по каждому из них (этот подход рассмотрен ниже на примере метода последовательных уступок;
  • — сведение многих критериев к одному введением экспертных весовых коэффициентов для каждого из критериев таким образом, что более важный критерий получает более высокий вес.

Возвращаясь к задаче многокритериальной оптимизации в общей постановке (3.28), (3.29), отмстим, что в идеальном случае можно вести поиск такого решения, которое принадлежит пересечению множеств оптимальных решений всех однокритериальных задач. Однако такое пересечение обычно оказывается пустым множеством, поэтому приходится рассматривать так называемое переговорное множество эффективных решений (оптимальных по Парето). Критерий оптимальности итальянского экономиста В. Парето применяется при решении таких задач, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, чтобы другие не ухудшались.

Определение 3.1. Векторназывается эффективным (оптимальным по Парето) решением задачи (3.28), (3.29), если не существует такого вектора , что

(3.30)

причем хотя бы для одного значения i имеет место строгое неравенство.

Множество допустимых решений, для которых невозможно одновременно улучшить все частные показатели эффективности (т.е. улучшить хотя бы один из них, не ухудшая остальных), принято называть областью Парето, или областью компромиссов, а принадлежащие ей решения — эффективными, или оптимальными по Парето.

В общем случае эффективные решения не эквивалентны друг другу, так что про два оптимальных по Парето решения нельзя сказать, какое из них лучше. Поэтому при решении многокритериальных задач необходимо дополнительное изучение эффективных решений. Для этого можно было бы сформулировать некоторый критерий и оптимизировать его на множестве эффективных решений. Однако при этом возникают значительные трудности в связи с тем, что, как правило, область компромиссов не является выпуклой, и полученная задача в общем случае будет задачей невыпуклого программирования. Обычный подход заключается в стремлении «свернуть» частные критерии в один обобщенный скалярный критерий, оптимизация которого приводит к оптимальному решению задачи в целом. Формулировка подходящего обобщенного критерия в зависимости от конкретных условий как раз и является основным вопросом, который изучается в многокритериальной оптимизации.

В некоторых случаях вместо одного обобщенного критерия и решения одной соответствующей задачи скалярной оптимизации предлагается рассматривать последовательность обобщенных критериев и последовательность задач скалярной оптимизации. К сожалению, многие из описанных в литературе подобных процедур не всегда приводят к эффективным решениям.

Рассмотрим один из таких методов решения многокритериальных задач — метод последовательных уступок.

Метод последовательных уступок решения задач многокритериальной оптимизации применяется в случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывания их важности. Предположим, что все частные критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания их важности. Находим максимальное значение , первого по важности критерия в области допустимых решений, путем решения однокритериальной задачи

Затем, исходя из практических соображений и принятой точности, назначается величина допустимого отклонения 8, > 0 (экономически оправданной уступки) критерия Z, и находится максимальное значение второго критерия Z’2 при условии, что значение первого критерия не должно отклоняться от своего максимального значения более чем на величину допустимой уступки, т.е. решается задача:

Снова назначается величина уступки δ2 > 0 по второму критерию, которая вместе с первой уступкой используется для нахождения условного максимума третьего частого критерия:

Аналогичные процедуры повторяются до тех пор, пока не будет выявлено максимальное значение последнего по важности критерия Zm при условии, что значение каждого из первых т — 1 частных критериев отличается от соответствующего условного максимума не более чем на величину допустимой уступки по данному критерию. Полученное на последнем этапе решение считается оптимальным. Следует заметить, что этот метод не всегда приводит к эффективному решению.

Пример 3.7. Решение задачи многокритериальной оптимизации методом последовательных уступок.

Решение. Пусть задача трехкритериальной оптимизации имеет вид

(3.31)

(3.32)

(3.33)

(3.34)

Заметим, что так как коэффициенты при одних и тех же переменных в данных частных критериях имеют разные знаки, то в заданной области допустимых решений невозможно одновременно улучшить все частные критерии, т.е. в рассматриваемом случае область компромиссов (область Парето) совпадает с областью допустимых решений (3.34).

Для определенности будем считать, что допустимые уступки по первым двум критериям заданы: δ1 = 3; δ3 = 5/3.

Максимизируем функцию Z3 в области допустимых решений, т.е. решаем одну критериальную задачу (3.31), (3.34). Это несложно сделать рассмотренным в главе 2 графическим методом решения задач линейного программирования (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Максимум функции Z1 при условиях (3.34) достигается в точке А области Q с координатами (1; 4), так что в данном случае

Переходим к максимизации функции Z, при условиях (3.34) и дополнительном ограничении, позволяющем учесть, что по критерию Z, нельзя уступать более чем на δ1. Так как в нашем примере , то дополнительное ограничение будет иметь вид

(3.35)

Задачу (3.32), (3.34), (3.35) также решаем графически (рис. 3.4).

Получаем, что максимум функции Z2 при условиях (3.34), (3.35) достигается в точке В части Q, области Q, так что

Теперь уступаем по критерию Z2 на величину уступки 52= 5/3 и получаем второе дополнительное ограничение:

(3.36)

Максимизируем функцию Z3 при условиях (3.34), (3.35) и (3.36). Решение этой задачи представлено на рис 3.5.

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Таким образом, получаем оптимальное решение рассматриваемой трехкритериальной задачи (точка С на рис. 3.5):

Соответствующие значения частных критериев при этом составляют:

Z1 = 4; Z2 = 7; Z3 = -7.

Задача многокритериальной оптимизации. Multiobjectivization

В данной статье рассматривается многокритериальная оптимизация, её задача. Рассматривается понятие Парето-фронт — множество Парето оптимальных значений. Также рассматривается задача коммивояжера и предлагается алгоритм её мультиобъективизации

Читать еще:  Постановка оптимизационной задачи

Постановка задачи [ править ]

Так как не существует единого решение, которое было бы максимальным для всех целевых функций, вместо него можно искать множество [math]X^* subseteq X [/math] множество Парето оптимальных значений.

Множество Парето оптимальных значений [ править ]

Выражение [math]x succ x^*[/math] означает, что [math]x[/math] доминирует над [math]x^*[/math] .

Говорят, что [math]x[/math] доминирует над [math]x^*[/math] . по Парето, если [math]x[/math] не хуже [math]x^*[/math] по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходит [math]x^*[/math] . В таком случае в выборе [math]x^*[/math] нет смысла, т.к. [math]x[/math] по всем параметрам не уступает, а по каким-то и превосхожит [math]x^*[/math] . Если рассматривать всего два критерия то на рис. 1 показана область пространства, доминируемая данным решением А. Эта область «замкнута»: элементы на ее границе также доминируемы А

На рис. 2 показана граница Парето для возможных решений в двухкритериальном пространстве

Множество Парето оптимальных недоминируемых решений называется Парето фронтом.

Суть метода мульти-объективизации заключается в разбитии сложной задачи с одной целевой функцией на несколько подзадач, найти для каждой подзадачи решение и выбрать оптимальное решение.

Для выполнения оптимизации многокритериальной задачи мы должны добавить в целевую функцию новые параметры, либо должны добавить новые целевые функции.

Сложность этой процедуры заключается в разложении проблемы на ряд мелких независимых между собой подпроблем.

Hill-Climbers [ править ]

[math]x’_1 leftarrow [/math] Mutate [math](P)[/math] , [math]x_2 leftarrow [/math] Mutate [math](P)[/math]
if [math](H(x_1,x’_1)+H(x_2,x’_2) gt H(x_1,x’_2)+H(x_2,x’_1))[/math]

[math]P leftarrow P cup x’_1 setminus x_1[/math]

[math]P leftarrow P cup x’_2 setminus x_2[/math]

Hierarchical-if-and-only-if function [ править ]

H-IIF – предназначена для моделирования проблемы с блочной структурой, каждый блок которой строго связан с остальными блоками.

[math] f(B)= begin1,& mbox |B| = 1, mbox < else>\|B|+f(B_L)+f(B_R),& mbox(forall i mbox < or >forall i ) \f(B_L) + f(B_R), & mbox end [/math] ,

где [math]B[/math] – блок бит [math], |B|[/math] – размер блока, а [math]B_L, B_R[/math] – левая и правая часть блока соответственно.

Применяя к этой задаче мультиобъективизацию, разобьём задачу [math]f[/math] на [math]k[/math] -задач.

Представим, как будет выглядеть [math]f(B)[/math] :

[math] f(B)= begin 0, & mbox |B| = 1 mbox< and >b_1 neq k, mbox < else>\1,& mbox |B| = 1 mbox< and >b_1 = k, mbox < else>\|B|+f_k(B_L)+f_k(B_R),& mbox(forall i ), \f_k(B_L) + f_k(B_R), & mbox end [/math]

где [math]f_0(x)[/math] – первая цель; [math]f_0(x)[/math] – вторая цель.

Данный подход помогает избежать проблему локальных максимумов (минимумов).

Задача коммивояжера [ править ]

Задача коммивояжера (TSP)является наиболее известно из всего класса [math]NP[/math] -сложных задач. Формулируется задача следующим образом:

Задано [math]C= [/math] – множество городов и для каждой пары [math][/math] задано расстояние. Наша цель – найти цепь из городов, минимизирующую величину:

Применяя к этой задаче мультиобъктивизацию, нужно разбить её на подзадачи. TSP – является [math]NP[/math] -сложной именно потому, что нет хорошего разложения этой задачи. Тем не менее задачу можно разбить на две или больше подтуров, каждый из которых мы можем минимизировать.

Представим подтуры в виде двух городов. Тогда наша задача примет вид:

где [math]a[/math] и [math]b[/math] – два города, указанных априори. Если [math]pi (a) lt pi (b)[/math] , меняем их местами.

Предполагается, что [math]a[/math] и [math]b[/math] выбраны произвольно.

Задачи многокритериальной оптимизации

В большинстве случаев абсолютно лучшее решение выбрать невозможно, так как при переходе от одного варианта к другому (например, от PA к PB ) улучшаются одни критерии (на рис.7а — К2), но ухудшаются другие (К1). Состав таких критериев называется противоречивым, и окончательно выбранное решение всегда будет компромиссным.

Компромисс разрешается введением тех или иных дополнительных ограничений или субъективных предположений. Поэтому невозможно говорить об объективном единственном решении такой задачи.

В задачах многокритериальной оптимизации поиск решений возможен рядом способов.

Выделение области компромиссов и отбрасывание заведомо неудовлетворительных решений.

Множество допустимых решений Мд(к) разделяется на множество худших Мх(к) и множество нехудших Мнх(к) решений. Худшим считается такое решение, если можно найти другое решение, значения критериев у которого не хуже (такие же) или лучше, чем у рассматриваемого. Решение, для которого из множества допустимых решений нельзя найти ни одного лучшего по всем критериям, называется нехудшим. Так, для множества, представленного на рис. 7а: множество худших решений Мх(к)=< PD, PE > и множество нехудших решений Мнх(к)=A, PB, PC >, поскольку, например, у решения PB =<К , К> значения всех критериев лучше, чем у решения PD =<К1D, К2D>. С другой стороны, решение PА по сравнению с решением PВ лучше по критерию К1, но хуже по критерию К2 .

Пусть К1 — стоимость изделия в рублях, К2 — масса этого же изделия в килограммах.

Имеется три варианта решений: P 1=<4, 4>, P2=<8, 1>, P 3=<7, 6>. Очевидно, что решение P1 лучше решения P3 по всем критериям и без ущерба решение P3 можно отбросить.

Выбрать лучшее из решений P1 и P2 затруднительно: по стоимости выгоднее первое решение, а по массе — второе.

Графически множество нехудших решений соответствует части граничных точек множества допустимых решений, которые находятся между точками касания линий, параллельных осям координат (при условии, что критерии убывают с улучшением решения). На рис.7б — это точки отрезка АВСБ границы области Мд(к). В пространстве параметров множество нехудших решений уже не обязательно будет лежать на границе множества допустимых решений Мх(к), а распределяется по всему пространству.

Множество нехудших решений еще называют неулучшаемым: замена одного решения из этого множества на другое ведет к улучшению одних критериев и обязательному ухудшению других.

Математический алгоритм выбора нехудших решений основан на использовании бинарных отношений предпочтения теории принятия решений. Смысл бинарных отношений заключается в последовательном попарном сравнении элементов в соответствии с установленным правилом предпочтения. Так, предпочтительность решения PD по отношению к решению PE (рис.7а) условно записывается как PD R PE или PD > PE. Обычно для поиска множества нехудших решений используют отношения предпочтения Слейтера или Парето, последние — чаще. Математическая запись отношений предпочтения Парето (фамилия итальянского ученого-экономиста, введшего в начале 20-х годов 20-го века это понятие) имеет вид: PD P PE , т.е. решение PD =<К1D. КmD> лучше решения PE =<К. К> только тогда, когда КiD ≤ К (i=1. m), причем хотя бы для одной сравниваемой пары критериев (например, при i=l) имеет место строгое неравенство К1D 1 и К2 1 в пространстве двух показателей качества, рис.7а) соответствует выделению прямоугольной области, и очевидно, что лучшим решением будет оказываться одно из нехудших (из области Парето).

Сведение задачи к однокритериальной и последующее ее решение методами скалярной оптимизации.

Такое сведение осуществляется на основе введения дополнительных предположений о взаимосвязи и взаимозависимости учитываемых в задаче показателей качества. Выбор конкретного способа сведения зависит от многих обстоятельств, таких как квалификация специалистов, объем и достоверность имеющейся в их распоряжении информации, срочность решения, степень ответственности за получаемый результат. При этом следует учитывать, что характер решения меняется и со временем (то, что выгодно сегодня, может быть разорительным завтра).

Сведение задачи к однокритериальной проводится посредством выбора одного критерия из нескольких, введения общей единицы измерения для всех критериев, свертки нескольких критериев в один и другими методами.

— Выбор из рассматриваемого перечня критериев одного, главного, который отражает наиболее существенные свойства исследуемого объекта. Выбор основывается на опыте разработчика или на мнении экспертов. С оставшимися критериями поступают следующими способами:

Читать еще:  Как создать папку linux

· заменяют их ограничениями, которые при необходимости ужесточают или смягчают;

· ранжируют критерии, т.е. упорядочено располагают по степени важности характеризуемых свойств. Например, К1> К3 >(К2, К5) > K4 . , что означает, что критерий К1 важнее всех остальных (главный), из которых более важный — К3, из оставшихся критериев более важны К2 , К5 , в свою очередь, равноценные друг другу, и т.д. Далее выбирают решение при главном критерии, вводя пороговые ограничения на остальные или же вообще их не учитывая. Если решений оказывается несколько, то лучшее из них выбирают на основе второго по важности критерия из ранжированного ряда, и т.д.

— Введение общей единицы измерения критериев. В качестве такой меры часто выбирают стоимость достижения того или иного уровня качества, будь то снижение массы и потерь энергии, современный дизайн и т.д. Т.е. для каждого варианта объекта, характеризуемого своим уровнем качества, подсчитывают (или оценивают), с одной стороны, расходы на производство, эксплуатацию и утилизацию, а с другой стороны — доходы от использования. По величине экономической эффективности (разности доходов и расходов) делают вывод о предпочтительности вариантов.

— Свертка векторного критерия, т.е. замена рассматриваемых критериев одним новым, называемым функцией полезности или целевой функцией. Выбор целевой функции сложная задача:

· нужно числено оценить, а не только ранжировать каждый критерий;

· нужно объединить критерии, которые имеют, как правило, разную размерность (например, рубли, килограммы, проценты и т.д.);

· нужно объединить критерии, величины и диапазоны изменения которых могут существенно разниться (например, потери измеряются сотыми долями, что несравнимо меньше величины, допустим, массы, измеряемой десятками и сотнями килограммов);

· сложно, а иногда и невозможно найти численную меру показателя качества. Например, такие неформализуемые показатели, как степень красоты, удобство работы;

· величины разных критериев могут определяться с различной достоверностью. Так, например, если масса изделия оценивается достаточно точно, то надежность задается заметно грубее.

· Грамотное выполнение свертки с получением максимально достоверного результата достигается тщательным проведением предварительных исследований, привлечением знаний и опыта специалистов-экспертов. Методы постановки задач векторной оптимизации подробно изложены в книге Кини Р. Л. и Райфа Х.

· В качестве целевой функции f часто используют:

· аддитивную функцию, т.е. функцию, подсчитываемую для каждого варианта (j = 1, . , n) решения как сумму отдельных критериев (i = 1 , . , m) с учетом их относительной важности λi, т.е. fj = Σλi·Кij . Коэффициент &lambdai называется весовым. Обычно принимают Σλi = 1;

· мультипликативную функцию, т.е. функцию, подсчитываемую как произведение отдельных критериев с соответствующими степенями λi , т.е. fj = П(Кij) λi .

В пределах решения одной задачи должен соблюдаться единый подход к подсчету целевой функции.

Рассмотрим такой показатель качества как компактность. Под ним обычно понимается совокупность минимизируемых критериев — габаритных размеров, допустим x,y,z . Тогда целевой функции компактности в аддитивной формулировке fa=x+y+z будет соответствовать периметр, а в мультипликативной — fм=xyz, т.е. объем.

Чаще используется аддитивная целевая функция, поскольку ее применение позволяет применять более простой и хорошо разработанный математический аппарат линейного программирования.

Входящие в целевую функцию отдельные критерии обязательно нормируют, т.е. приводят к безразмерному виду и устанавливают интервалы изменения от 0 до 1. Назначение величин весовых коэффициентов обычно проводят методом экспертных оценок. Для этого суммируют (с учетом опыта и квалификации) индивидуальные оценки каждого из группы экспертов. Учет многих мнений позволяет снизить влияние эвристичности решений и волевого подхода отдельных экспертов.

Применение различных подходов (что видно из примера) может приводить к разным результатам. Это еще раз подчеркивает важность в задачах многокритериальной оптимизации тщательности формулировок и подготовки данных, строгого обоснования вводимых предположений.

Графически в пространстве показателей качества применение целевой функции означает поиск точки касания N границы множества допустимых решений с линией, задаваемой этой функцией, при параллельном ее смещении от начала координат (если функция цели минимизируется) или из бесконечности к началу координат (если функция максимизируется). На рис. 8 сказанное поясняется на примере двухкритериальной задачи с непрерывным множеством допустимых решений Мд(к).

Рис. 8. Положение оптимального решения N при свертке векторного критерия

Аддитивной целевой функции соответствует прямая линия (рис. 8а), угол наклона которой определяется соотношением величин весовых коэффициентов и способом нормирования критериев. Оптимальному решению соответствует точка касания N, если функция цели минимизируется, и точка N’ — если максимизируется. Положение точки касания при изменении угла наклона может меняться в пределах дуги АD множества Парето, т.е. оптимальное решение является одним из решений из множества Парето.

Мультипликативной целевой функции соответствует кривая линия (рис.8б, принято, что функция цели минимизируется), форма которой определяется соотношением величин весовых коэффициентов и способом нормирования критериев.

Решения, соответствующие точкам A и D, получаются в случае ранжирования критериев и последующего рассмотрения только одного из них.

В некоторых случаях, если область нехудших решений ограничена извилистой линией, поиск с помощью функции цели может дать нескольких оптимальных решений (рис.8в).

Недопустима свертка показателей безопасности или их отбрасывание при ранжировании.

Метод решения многокритериальных задач оптимизации с использованием обобщенного критерия

Суть данного метода заключается в том, что частные критерии Fi (X), i = каким-либо образом объединяются в один интегральный критерий F (X) = Ф (F1 (X), F2 (X),…, Fn (X)) , а затем находится максимум или минимум данного критерия.

Если объединение частных критериев производится, исходя из объектной взаимосвязи частных критериев и критерия обобщенного, то тогда оптимальное решение будет корректно. Но такое объединение осуществить крайне сложно или невозможно, поэтому, как правило, обобщенный критерий есть результат чисто формального объединения частных критериев.

В зависимости от того, каким образом частные критерии объединяются в обобщенный критерий различают следующие виды обобщенных критериев:

1) аддитивный критерий;

2) мультипликативный критерий;

3) максиминный (минимаксный) критерий.

Аддитивный критерий. В этом случае целевая функция получается путем сложения нормированных значений частных критериев. В общем виде целевая функция имеет следующий вид:

,

где n – количество объединяемых частных критериев; Ci – весовой коэффициент i-го частного критерия; Fi (X) – числовое значение i-го частного критерия; Fi (0) (X) – i-й нормирующий делитель; fi (X) – нормированное значение i-го частного критерия.

Частные критерии имеют различную физическую природу и поэтому различную размерность. А значит просто суммировать их некорректно. В связи с этим в предыдущей формуле числовые значения частных критериев делятся на некоторые нормирующие делители, которые назначается следующим образом:

— в качестве нормирующих делителей принимаются директивные значения параметров или критериев, заданные заказчиком. Считается, что значения параметров, заложенные в техническом задании, являются оптимальными или наилучшими;

— в качестве нормирующих делителей принимаются максимальные (минимальные) значения критериев, достигаемые в области допустимых решений.

Размерности самих частных критериев и соответствующих нормирующих делителей одинаковы, поэтому в итоге обобщенный аддитивный критерий получается безразмерной величиной.

Преимущество аддитивного критерия: как правило, всегда удается определить единственный оптимальный вариант решения.

— трудности (субъективизм) в определении весовых коэффициентов;

— аддитивный критерий не вытекает из объектной роли частных критериев и поэтому выступает как формальный математический прием;

— в аддитивном критерии происходит взаимная компенсация частных критериев, т. е. уменьшение одного из них может быть компенсировано увеличением другого критерия.

Пример. Определить оптимальный вариант машины с использованием обобщенного (интегрального) аддитивного критерия. Частными критериями, с помощью которых оценены варианты машины, являются ее производительность и надежность (наработка на отказ). Оба критерия «работают» на максимум, т. е. наилучшими вариантами машины являются те из них, которые обеспечивают наибольшую ее производительность и надежность. Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 3.2.

Читать еще:  Классификация методов оптимизации

Таблица 3.2 – Исходные данные для определения
оптимального варианта исполнения машины

Целевая функция на основе аддитивного критерия запишется следующим образом:

.

В качестве нормирующих делителей в данной задаче примем наилучшие (максимальные) значения частных критериев:

Значения обобщенного аддитивного критерия рассчитываются для каждого варианта машины.

Вариант 1. F (X) = 0,6(1000/4000) + 0,4(1500/1500) = 0,55.

Вариант 2. F (X) = 0,6(2000/4000) + 0,4(1000/1500) = 0,558.

Вариант 3. F (X) = 0,6(4000/4000) + 0,4(500/1500) = 0,732.

Оптимальным является 3 вариант машины, т. к. ему соответствует максимальное значение обобщенного аддитивного критерия.

Один из недостатков этого метода заключается в том, что весовые коэффициенты назначает проектировщик. Разные проектировщики могут назначать разные весовые коэффициенты. Пусть, например, C1 = 0,4;
C
2 = 0,6. Определим теперь значения аддитивных критериев для вариантов машины.

Вариант 1. F (X) = 0,4 × 0,25 + 0,6 × 1 = 0,7.

Вариант 2. F (X) = 0,4 × 0,5 + 0,6 × 0,67 = 0,602.

Вариант 3. F (X) = 0,4 × 1 + 0,6 × 0,33 = 0,598.

Таким образом, при изменении значений весовых коэффициентов оптимальным уже будет 1 вариант машины.

Мультипликативный критерий. В данном случае целевая функция здесь записывается следующим образом:

,

где П – знак произведения; Сi – весовой коэффициент i-го частного критерия; Fi(X) – числовое значение i-го частного критерия.

Преимущества мультипликативного критерия:

— не требуется нормирование частных критериев;

— практически всегда определяется одно оптимальное решение.

— трудности (субъективизм) в определении весовых коэффициентов частных критериев;

— перемножение разных размерностей;

— взаимная компенсация значений частных критериев.

Максиминный (минимаксный) критерий. Эти критерии работают по принципу компромисса, который основывается на идее равномерности. Сущность принципа максимина заключается в следующем. При проектировании сложных систем, при наличии большого числа частных критериев установить между ними аналитическую взаимосвязь очень сложно. Поэтому стараются найти такие значения переменных (параметров) X = <x1, x2,…, xm>, при которых нормированные значения всех частных критериев равны между собой:

где Ci – весовой коэффициент i-го частного критерия; fi (X) – нормированное значение i-го частного критерия; K – константа.

При большом количестве частных критериев из-за сложных взаимосвязей добиться выполнения указанного выше соотношения очень сложно. Поэтому на практике так варьируют значениями переменных проектирования x1, x2,…, xm, при которых последовательно «подтягиваются» те нормированные критерии, численные значения которых в исходном решении оказались наименьшими. Т. к. эта операция производится в области компромисса, подтягивание «отстающего» критерия неизбежно приводит к снижению значений части остальных критериев. Но при проведении
ряда шагов можно добиться определенной степени уравновешивания противоречивых частных критериев, что и является целью принципа максимина.

Формально принцип максимина формулируется следующим образом: выбрать такой набор переменных Х (0) Î Х, при котором реализуется максимум из минимальных нормированных значений частных критериев,

Такой принцип выбора Х (0) иногда носит название гарантированного результата. Он заимствован из теории игр, где является основным принципом.

Если частные критерии необходимо минимизировать, то самым отстающим критерием является тот, который принимает максимальное значение. В этом случае применяют принцип минимакса:

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Задачи многокритериальной оптимизации

Для мультипликативного метода подход к решению аналогичен, только целевая функция имеет вид

, причем .

Основной и очень существенный недостаток методов свертывания критериев состоит в субъективности выбора коэффициентов .

Метод главного критерия

Выбирается основной (главный) среди критериев. Пусть это, например, . Все остальные целевые функции переводятся в разряд ограничений по приведенному ниже правилу.

В соответствии с требованиями ЛПР на все критерии накладываются определенные ограничения, которым они должны удовлетворять. Вводится система контрольных показателей , относительно которых по всем критериям должны быть достигнуты значения, не меньше заданных значений :

, .

После выбора основного критерия и установления нижних границ для остальных критериев решается задача однокритериальной оптимизации:

.

Этот способ наиболее употребителен в инженерной практике.

Парето-оптимальные решения

Если функции достигают максимум в одной и той же точке , то говорят, что задача (3.3) имеет идеальное решение.

Случаи существования идеального решения в многокритериальной задаче крайне редки. Поэтому основная проблема при рассмотрении задачи (3.3) – формализация принципа оптимальности, т.е. определение того, в каком смысле «оптимальное» решение лучше других. В случае отсутствия «идеального решения» в задаче (3.3) ищется компромиссное решение.

Для всякой альтернативы вектор из значений целевых функций является векторной оценкой альтернативы . Векторная оценка альтернативы содержит полную информацию о ценности (полезности) этой альтернативы для главного конструктора системы, или, как принято говорить в системном анализе, лица, принимающего решение (ЛПР). Сравнение любых двух исходов заменяется сравнением их векторных оценок.

Пусть . Если для всех критериев имеют место неравенства , , причем хотя бы одно неравенство строгое, то говорят, что решение предпочтительнее решения . Условие предпочтительности принято обозначать в виде .

Определение (оптимальность по Парето). В задаче МКО точка называется оптимальной по Парето, если не существует другой точки , которая была бы предпочтительнее, чем .

Точки, оптимальные по Парето, образуют множество точек, оптимальных по Парето (множество неулучшаемых или эффективных точек) .

Оптимальные решения многокритериальной задачи следует искать только среди элементов множества альтернатив . В этой области ни один критерий не может быть улучшен без ухудшения хотя бы одного из других. Важным свойством множества Парето является возможность «выбраковывать» из множества альтернатив заведомо неудачные, уступающие другим по всем критериям. Обычно решение многокритериальной задачи должно начинаться с выделения множества . При отсутствии дополнительной информации о системе предпочтений ЛПР должно принимать решение именно из множества Парето .

В векторной оптимизации кроме множества Парето в общем случае нет общих правил, по которому варианту отдается предпочтение по сравнению с другим вариантом .

Часто решение многокритериальной задачи состоит в построении множества Парето-оптимальных точек и дальнейшем выборе одной из них на основе «здравого смысла» или с помощью какого-либо другого критерия.

Во всех случаях задача многокритериальной оптимизации каким-то способом сводится к задаче с одним критерием. Существует много способов построения такого окончательного критерия, однако ни одному из них нельзя заранее отдать наибольшее предпочтение. Для каждой задачи этот выбор должен делаться ЛПР.

Заметим, что целевые функции отображают множество точек, оптимальных по Парето в множество , которое называется множеством Парето.

Метод анализа иерархий

Метод анализа иерархий состоит в декомпозиции цели принятия решения на более простые составляющие части (требуемые свойства альтернатив), выявления важности каждого из свойств (аспектов), которыми должна обладать лучшая альтернатива, оценки каждого такого свойства для разных альтернатив и дальнейшей обработке последовательности суждений по парным сравнениям. В результате получается иерархия частных показателей, композиция которых приводит к значениям для каждой из сравниваемых альтернатив.

Дата добавления: 2018-06-27 ; просмотров: 130 ;

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector