Green-sell.info

Новые технологии
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Виды оптимизационных задач

Понятие оптимизационных задач и оптимизационных моделей

Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.), называются оптимизационными.

Оптимизационные задачи (ОЗ) решаются с помощью оптимизационных моделей (ОМ) методами математического программирования.

Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющими эту область. Целевая функция в самом общем виде в свою очередь также состоит из трех элементов:

управляемых переменных; неуправляемых переменных; формы функции (вида зависимости между ними).

Область допустимых решений – это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.

Если система ограничений несовместима, то область допустимых решений является пустой. Ограничения подразделяются на:

а) линейные (I и II) и нелинейные (III и IV) (рис.3.1.);

Рис.3.1. Линейные и нелинейные ограничения

б) детерминированные (А,В) и стохастические (группы кривых ) (рис.3.2.).

Рис. 3.2. Детерминированные и стохастические ограничения

Стохастические ограничения являются возможными, вероятностные, случайными.

Оптимизационные задачи решаются методами математического программирования, которые подразделяются на:

линейное программирование; нелинейное программирование; динамическое программирование; целочисленное программирование; выпуклое программирование; исследование операций; геометрическое программирование и др.

Главная задача математического программирования – это нахождение экстремума функций при ограничениях в форме уравнений и неравенств.

Рассмотрим оптимизационные задачи, решаемые методами линейного программирования.

Оптимизационные задачи с линейной зависимостью между переменными

— количество ресурса вида i (i=1,2. m);

— норма расхода i – го ресурса на единицу j – го вида продукции;

— количество продукции вида j (j=1,2. n);

— прибыль (доход) от единицы этой продукции (в задачах на минимум – себестоимость продукции).

Тогда оптимизационные задачи линейного программирования (ЛП) в общем виде может быть сформулирована и записана следующим образом:

Найти переменные , при которых целевая функция

,

была бы максимальной (минимальной), не нарушая следующих ограничений:

,

,

.

Вcе три случая можно привести к так называемой канонической форме, введя дополнительные переменные:

,

k – количество дополнительных переменных, и условие неотрицательности искомых переменных:

.

В результате решения задачи находится некий план (программа) работы некоторого предприятия. Отсюда и появилось слово «программирование». Слово линейное указывает на линейный характер зависимости как в целевой функции, так и в системе ограничений. Следует еще раз подчеркнуть, что задача обязательно носит экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании максимума или минимума (экстремума) целевой функции.

Понятие оптимизационных задач и оптимизационных моделей

Экономико-математические задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта использования имеющихся ресурсов (труда, капитала и пр.), называются оптимизационными.

Оптимизационные задачи (ОЗ) решаются с помощью оптимизационных моделей (ОМ) методами математического программирования.

Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, области допустимых решений и системы ограничений, определяющими эту область. Целевая функция в самом общем виде в свою очередь также состоит из трех элементов:

управляемых переменных; неуправляемых переменных; формы функции (вида зависимости между ними).

Область допустимых решений – это область, в пределах которой осуществляется выбор решений. В экономических задачах она ограничена наличными ресурсами, условиями, которые записываются в виде системы ограничений, состоящей из уравнений и неравенств.

Если система ограничений несовместима, то область допустимых решений является пустой. Ограничения подразделяются на:

а) линейные (I и II) и нелинейные (III и IV) (рис.3.1.);

Рис.3.1. Линейные и нелинейные ограничения

б) детерминированные (А,В) и стохастические (группы кривых ) (рис.3.2.).

Рис. 3.2. Детерминированные и стохастические ограничения

Стохастические ограничения являются возможными, вероятностные, случайными.

Оптимизационные задачи решаются методами математического программирования, которые подразделяются на:

линейное программирование; нелинейное программирование; динамическое программирование; целочисленное программирование; выпуклое программирование; исследование операций; геометрическое программирование и др.

Главная задача математического программирования – это нахождение экстремума функций при ограничениях в форме уравнений и неравенств.

Рассмотрим оптимизационные задачи, решаемые методами линейного программирования.

Оптимизационные задачи с линейной зависимостью между переменными

— количество ресурса вида i (i=1,2. m);

— норма расхода i – го ресурса на единицу j – го вида продукции;

— количество продукции вида j (j=1,2. n);

— прибыль (доход) от единицы этой продукции (в задачах на минимум – себестоимость продукции).

Тогда оптимизационные задачи линейного программирования (ЛП) в общем виде может быть сформулирована и записана следующим образом:

Найти переменные , при которых целевая функция

,

была бы максимальной (минимальной), не нарушая следующих ограничений:

,

,

.

Вcе три случая можно привести к так называемой канонической форме, введя дополнительные переменные:

,

k – количество дополнительных переменных, и условие неотрицательности искомых переменных:

.

В результате решения задачи находится некий план (программа) работы некоторого предприятия. Отсюда и появилось слово «программирование». Слово линейное указывает на линейный характер зависимости как в целевой функции, так и в системе ограничений. Следует еще раз подчеркнуть, что задача обязательно носит экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании максимума или минимума (экстремума) целевой функции.

Структура оптимизационных задач

Все оптимизационные задачи имеют общую структуру. Оптимизационные задачи есть задачи минимизации (максимизации) M-векторного векторного показателя эффективности Em(x), m=1,2. M, N-мерного векторного аргумента x=(x1,x2. xN), компоненты которого удовлетворяют системе ограничений-равенств qk(x)=0, k=1,2. K, ограничений-неравенств gj(x)>0, j=1,2. J, областных ограничений xli

Читать еще:  Методы оптимизации метод половинного деления

· многоцелевое принятие решений — Em(x) — вектор;

· принятие решений в условиях определенности — исходные данные — детерминированные;

· принятие решений в условиях неопределенности — исходные данные — случайные.

Задачи оптимизации независимо от рассматриваемого направления исследовались в математике Л.С. Понтрягиным (принцип максимума Понтрягина [2]), Р.Л. Стратоновичем [2], применительно к теории управления — В.Г. Болтянским [2]. В результате сформировалась теория оптимальных процессов.

При решении конкретной задачи оптимизации исследователь прежде всего должен выбрать математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисления или же давал возможность получить наибольший объем информации об искомом решении. Выбор того или иного метода в значительной степени определяется постановкой оптимальной задачи, а также используемой математической моделью объекта оптимизации.

В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы:

  • методы исследования функций классического анализа;
  • методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа;
  • принцип максимума;
  • вариационное исчисление;
  • математическое программирование.

Наиболее разработан и широко используется на практике аппарат одноцелевого принятия решений в условиях определенности, который получил название математического программирования: задачи линейного программирования (E(x), qk(x), gj(x) — линейны); нелинейного программирования (E(x), qk(x), gj(x) — нелинейны); дискретного (в том числе целочисленного) программирования (x – дискретны, в том числе целочисленны); динамического программирования (x – вычисляются на каждом шаге решения задачи).

Математический аппарат одноцелевого принятия решений в условиях неопределенности представляет собой стохастическое программирование (известны законы распределения случайных величин), теории игр и статистических решений (закон распределения случайных величин неизвестен).

Методы принятия многоцелевых решений – метод анализа иерархий, метод Парето и др.

Математическое программирование — это раздел теории оптимизации (теории экстремальных задач), занимающийся изучением и решением задач минимизации (максимизации) функции нескольких переменных на подмножестве конечномерного векторного пространства, которое задано в виде системы уравнений и/или системы неравенств.

Методы математического программирования представляют собой класс моделей, применяемых для формализации задач планирования целенаправленной деятельности, предусматривающих распределение ограниченного количества ресурсов разных видов.

Подобного рода задачи решаются в различных отраслях деятельности: в экономике, при разработке проектов, составлении расписаний, планировании военных операций и т.п. Модели математического программирования относятся к категории детерминированных моделей. Термин программирование в применении к рассматриваемому типу задач понимается как поиск наилучших планов (от английского слова programming — составление плана, программы действий). Когда говорят о задачах математического программирования, имеют в виду задачи, цель которых состоит в повышении эффективности промышленных, транспортных систем, систем управления деятельностью учебных, проектных, научных организаций.

Математическое программирование подразделяется на линейное, целочисленное, нелинейное, динамическое программирование. Рассмотрим некоторые постановки задач, методы и алгоритмы их решения.

Одним из направлений математического программирования является линейное программирование, в котором ярко проявляются специфические трудности нахождения экстремума на границе допустимой области переменных. В отличие от линейного программирования теория экстремальных задач, в которой целевая функция и/или функции, задающие ограничения, не линейны, называется нелинейным программированием. В частности, таковым является квадратичное программирование, в котором изучается задача нахождения экстремума квадратичной функции при линейных ограничениях типа равенств и/или неравенств.

Линейное программирование первоначально развивалось как направление, разрабатывающее новые подходы к решению задач минимизации выпуклых функций, т. е. в рамках выпуклого программирования. Выпуклое программирование посвящено нахождению экстремума выпуклой целевой функции на выпуклом множестве, обычно задаваемом в виде системы выпуклых неравенств.

Класс задач оптимизации, в которых область определения переменных состоит из отдельных изолированных точек, составляет предмет изучения дискретного программирования.

Широкий класс нелинейных и дискретных задач может решаться с использованием идеи рекуррентного подхода (методов типа математической индукции), являющихся основой динамического программирования, идея которого первоначально была предложена Р. Беллманом[1].

Для решения задач оптимизации со случайными параметрами разработано стохастическое программирование.

К математическому программированию относят также бесконечномерное программирование, в рамках которого предложены методы решения экстремальных задач с бесконечным числом переменных (например, такие, в которых набором переменных являются функции или набор функций) и минимизируется (максимизируется) функционал.

Развиты также методы решения задач оптимизации, в которых переменная принимает только два значения «истинно» — «ложно» или «да» — «нет». Такие методы относят к булевому программированию .

Методы математического программирования находят свое применение в самых различных областях техники и экономики.

В настоящее время экономическую теорию невозможно представить без экономико-математических методов, основанных на результатах математического программирования. Здесь достаточно упомянуть модели календарного планирования или упорядочения во времени, расписания, потоковые или транспортные модели; модели распределения и назначения; модели износа и замены оборудования (см. [1-4] и др.).

Экстремальные задачи независимо от рассматриваемого направления исследовались в математике Л.С. Понтрягиным (принцип максимума Понтрягина [2]), Р.Л. Стратоновичем [2], применительно к теории управления — В.Г. Болтянским [2]. В результате сформировалась теория оптимальных процессов.

Анализ постановки и решения задачи математического программирования позволяет выявить следующие особенности:

Читать еще:  Дефрагментация и оптимизация дисков

· введение понятий целевая функцияи ограниченияи ориентация на их формирование является фактически некоторыми средствами постановки задачи; причем эти средства могут быть полезны, даже если не удается сформировать систему непротиворечивых ограничений или записать целевую функцию в формальном виде;

· при использовании методов математического программирования появляется возможность объединенияв единой модели разнородных критериев(разных размерностей, предельных значений), что очень важно при отображении реальных проектных и производственных ситуаций;

· модель математического программирования допускает (и даже ориентирует на это) выход на границу области определения переменных(в то время как методы классической математики в основном приспособлены для поиска точек экстремумов во внутренней части области изменения переменных);

· изучение методов решения задач математического программирования позволяет получить представление о пошаговом приближении к решению, т. е. о пошаговом алгоитмеполучения результата моделирования.

Привлекательность методов математического программирования для решения слабоформализованных задач (каковыми, как правило, являются задачи планирования, распределения работ и ресурсов, загрузки оборудования и другие задачи управления современным предприятием на начальном этапе их постановки) объясняется рядом особенностей, отличающих эти методы от методов классической математики.

Виды оптимизационных задач

Курская академия государственной и муниципальной службы

Кафедра информационной и техносферной безопасности

по дисциплине « Методы оптимальных решений»

по теме « Разновидности задач оптимизации»

Выполнила: студентка 2 курса

Проверил: к.ф.м.н, доцент

1. Постановка задач оптимизации……………………. 4

1.2. Два основных аспекта проблемы оптимизации…….4

2. Классификация задач оптимизации………………………. 7

3. Оптимизационные задачи …………………………………. 9

3.2. Задача наилучшего приближения………………………9

3.6. Задача о распределении ресурсов……………………. 13

Список используемой литературы………………………………15

Задача оптимизации — в математике, информатике и исследовании операций задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.

В процессе проектирования ставится обычно задача определения наилучших, в некотором смысле, структуры или значений параметров объектов. Такая задача называется оптимизационной. Если оптимизация связана с расчетом оптимальных значений параметров при заданной структуре объекта, то она называется параметрической оптимизацией. Задача выбора оптимальной структуры является структурной оптимизацией.

Решения задачи оптимизации состоит из нескольких этапов:

– создание модели задачи оптимизации;

– поиск решения задачи оптимизации;

– анализ найденного решения задачи оптимизации.

Общая запись задач оптимизации задаёт большое разнообразие их классов. От класса задачи зависит подбор метода (эффективность её решения). Классификацию задач определяют: целевая функция и допустимая область (задаётся системой неравенств и равенств или более сложным алгоритмом).

Методы оптимизации классифицируют в соответствии с задачами оптимизации:

§ Локальные методы: сходятся к какому-нибудь локальному экстремуму целевой функции. В случае унимодальной целевой функции, этот экстремум единственен, и будет глобальным максимумом/минимумом.

§ Глобальные методы: имеют дело с многоэкстремальными целевыми функциями. При глобальном поиске основной задачей является выявление тенденций глобального поведения целевой функции.

Цель данной работы рассмотреть:

1. Постановку задач оптимизации;

2. Какие виды задач оптимизации существуют.

1. Постановка задачи оптимизации

Под оптимальным понимают такое проектирование, цель которого состоит в создании технического объекта (ТО), не только выполняющего заданные функции, но и отвечающего некоторым заранее установленным критериям качества.

Поиск рационального технического решения при выбранном физическом принципе действия осуществляется методом структурного синтеза. Определение оптимальных значений параметров элементов технической системы известной структуры — задача параметрического синтеза или параметрической оптимизации.

Постановка задачи оптимизации имеет содержательный смысл только в том случае, когда появляется необходимость выбора одного из конкурирующих вариантов, полученных при ограниченности ресурсов. Техническое проектирование всегда ведется в условиях жестких ограничений на материальные, энергетические, временные и прочие виды ресурсов. Вместе с тем средства САПР позволяют выполнить разработку нескольких альтернативных вариантов. Поэтому окончательный выбор технического объекта (принятие решения) необходимо проводить на основании установленных критериев. Выбор критерия является одним из важных этапов постановки задачи оптимизации, так как все последующие действия направлены на поиск объекта, наиболее близкого к оптимальному по выбранному критерию.

В основе построения правила предпочтения лежит целевая функция, количественно выражающая качество объекта и потому называемая также функцией качества или критерием оптимальности. Формирование целевой функции всегда выполняется с учетом различных выходных параметров проектируемого устройства. В зависимости от содержательного смысла этих параметров и выбранного способа их сочетания в целевой функции качество объекта будет тем выше, чем больше ее значение (максимизация) или чем меньше ее значение (минимизация).

1.2. Два основных аспекта проблемы оптимизации

Проблема оптимизации имеет два основных аспекта:

1) нужно поставить задачу, формализовав понятие «оптимальный»;

2) нужно решить задачу, уже имеющую математическую формулировку.

Математическая модель (ММ) оптимального проектирования технического объекта представляет собой формализованное описание критерия качества, условий, обеспечивающих выполнение заданных функций объектом, требований предъявляемых к отдельным параметрам объекта и др.

Именно в формировании ММ заключается постановка задачи оптимального проектирования ТО, которой предшествует определение цели и соответствующего критерия оптимизации. Например, при проектировании ТО цели оптимизации могут состоять в обеспечении: его минимальной массы; максимального КПД; минимальных размеров; максимальной надежности; минимальной стоимости изготовления; минимального количества расходуемого материала, топлива; максимальной грузоподъемности, производительности и др.

Читать еще:  Оптимизация андроид при включении

Каждой из перечисленных целей оптимального проектирования соответствует свой критерий оптимальности (масса, КПД, размеры). Критерии оптимальности выражают целевыми функциями f(x),представляющими собой математические зависимости их значений от параметров проектируемого технического объекта.

На первом этапе разработки математической модели оптимального проектирования выявляют параметры объекта, влияющие на критерий оптимальности, и определяют вид функциональной зависимости этих параметров. Далее определяют параметрические, дискретизирующие и функциональные ограничения, накладываемые на параметры технического объекта, для обеспечения им заданных функций.

Параметрическими называют ограничения вида:

где xi — i-тый параметр технического объекта; x и x -соответственно min и max допустимые значения i-го параметра.

Дискретизирующие ограничения имеют вид:

где xj— j-тый параметр ТО; xjk— допустимые значения j-го параметра (k=1,2. m).

Эти ограничения накладывают на значение параметров либо в связи с их физической сущностью (например, число зубьев передачи), либо в связи с требованиями ГОСТов, отраслевых стандартов.

Функциональные ограничения, накладываемые на параметры объектов, представляют собой условия связи их значений. Эти ограничения имеют вид:

Оптимизационные модели

Автор: Андрей Нестеров ✔ 25.12.2016

Нестеров А.К. Оптимизационные модели // Энциклопедия Нестеровых

Рассмотрим задачи, элементы оптимизационных моделей и этапы их построения.

Понятие оптимизационных моделей

Экономико-математические задачи, преследующие цель определить оптимальный вариант использования имеющихся ресурсов при соблюдении определенных условий, относят к разряду оптимизационных. Такие задачи решаются с помощью оптимизационных моделей. Структура оптимизационных моделей состоит из целевой функции, множества допустимых решений и заданной системы ограничений, которые определяют область возможных решений.

Целевая функция оптимизационной модели включает в себя управляемые переменные, неуправляемые переменные и формы функции.

Множество допустимых решений – это область возможных вариантов решения оптимизационной задачи, в пределах которой осуществляется выбор решений.

Заданная система ограничений в экономических задачах представляется имеющимися в наличии ресурсами и условиями их возможного использования в целях решения оптимизационной задачи. Система ограничений формализуется в виде уравнений и неравенств. Ограничения в оптимизационных моделях могут быть линейными и нелинейными, детерминированными и стохастическими.

Задачи построения оптимизационных моделей

Основная задача построения оптимизационных моделей заключается в нахождении экстремума функций при заданных ограничениях в виде систем уравнений и неравенств. Учитывая, что в рамках современных экономических систем большинство процессов являются массовыми и описываются сложными закономерностями, построение оптимизационных моделей позволяет охарактеризовать любой процесс с помощью математических уравнений и рационального подхода к моделированию.

Оптимизационные модели предназначены для выявления наилучшего решения при соблюдении заранее заданных, определенных и конкретизированных условий и ограничений. Оптимизационная модель описывается с помощью целевой функции, имеющей много аргументов. В ходе оптимизации с помощью сконструированной функции перебирается все множество значений аргументов поочередно до тех пор, пока значение функции станет удовлетворять поставленным условиям в рамках оптимизационной модели. В оптимизационную модель должен обязательно входить один или несколько параметров, на которые можно оказывать влияние, чтобы добиться соблюдения условиям оптимума при наличии определенных ограничений.

Оптимизационные модели позволяют посредством анализа совокупности альтернативных вариантов решений определить наилучший вариант производства, распределения или потребления в условиях ограниченности имеющихся ресурсов, которые будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели, что является экономическим содержанием данных моделей.

В оптимизационных моделях объектом моделирования может выступать:

  • склад предприятия,
  • выпуск новой продукции,
  • транспортировка готовой продукции и т.п.

Анализ ситуации, составляющей основу оптимизационной модели, сводится к оценке функционирования объекта моделирования, например, оптимизация работы склада предприятия должна учитывать скорость сбыта готовой продукции, размеры склада, объем оборотных средств. В зависимости от оптимизационной модели ненаблюдюдаемые параметры, включающие целевые значения функции и основных переменных, должны быть определены таким образом, чтобы обеспечить возможность рационального и обоснованного управления экономическими процессами. В то же время наблюдаемые параметры, которые сводятся к совокупности условий и ограничений, создают граничные условия для искомых значений функции.

Адекватность оптимизационной модели должна быть обеспечена таким образом, чтобы полностью или практически полностью характеризовать действительное функционирование объекта моделирования. Математический аппарат оптимизационной модели должен соответствовать описанию конкретного экономического процесса, например, отражать аналитические связи между основными параметрами функционирования склада готовой продукции на предприятии.

Это позволяет обеспечить достоверный анализ результатов моделирования выбранного объекта, которому подвергается совокупность всех оптимальных значений основных переменных и целевой функции, найденных в ходе перебора значений аргументов. На основе результатов такого анализа могут быть сделаны соответствующие выводы, благодаря которым принимается обоснованное оптимальное решение по управлению экономическим объектом или отдельным процессом.

Таким образом, следует сделать вывод:

Оптимизационные модели не являются единственным источником знаний о конкретном объекте, напротив, моделирование составляет более обширный и глубокий процесс познания особенностей функционирования объекта. Этот факт учитывается не только в рамках построения модели, но и при интерпретации полученных результатов, которые могут быть применены к объекту моделирования.

Элементы оптимизационной модели

Построение оптимизационной модели предваряет определение ее элементов. К обязательным элементам оптимизационной модели относятся переменные параметры конкретного экономического процесса, ограничения задачи и критерий оптимальности.

Элементы оптимизационной модели

Описание элементов оптимизационной модели приведено в таблице.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector