Green-sell.info

Новые технологии
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Теория двойственности методы оптимизации

Применение теории двойственности в методе встречного решения функциональных уравнений динамического программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Киселев В. Д., Андреев А. Н.

Для повышения эффективности метода встречного решения функциональных уравнений динамического программирования предлагается упорядочение ограничений по жесткости прямой задачи и включение при решении задачи по первому ограничению дополнительного отсева бесперспективных вариантов решения по целевой функции на основе метода ветвей и границ . Для определения жесткости ограничений, отсечения бесперспективных переменных и границ решения используется теория двойственности .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Киселев В. Д., Андреев А. Н.

Текст научной работы на тему «Применение теории двойственности в методе встречного решения функциональных уравнений динамического программирования»

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ В МЕТОДЕ ВСТРЕЧНОГО РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

© Киселев В.Д.*, Андреев А.Н.*

Тульское региональное отделение межрегиональная общественная организация «Академия информатизации образования», г. Тула

Для повышения эффективности метода встречного решения функциональных уравнений динамического программирования предлагается упорядочение ограничений по жесткости прямой задачи и включение при решении задачи по первому ограничению дополнительного отсева бесперспективных вариантов решения по целевой функции на основе метода ветвей и границ. Для определения жесткости ограничений, отсечения бесперспективных переменных и границ решения используется теория двойственности.

Ключевые слова: оптимизация, теория двойственности, динамическое программирования, метод ветвей и границ.

Динамическое программирование, один из эффективных методов решения комбинаторных задач, не может использоваться в классическом виде для исследования оптимизационных задач, что обусловлено их спецификой и особенно большой размерностью. Вместе с тем отказываться от этого метода нецелесообразно из-за простоты выполняемых расчетов, удобства алгоритмизации и независимости от вида исходных данных (целевые функции и ограничения могут быть линейными и нелинейными, выпуклыми и вогнутыми, заданными динамически или таблично и т.п.). Однако решение задач большой размерности этим методом требует хранения значительных объемов промежуточной информации и многочисленных вычислений, ограничивая размерность решаемых задач [1]. Поэтому возникает необходимость разработки специальных методов для снижения размерности задач.

Один из подходов сокращения размерности задач оптимизации сводится к выявлению ограничений задачи, которые либо не изменяют множество ее допустимых решений (избыточные ограничения), либо не влияют на множество оптимальных решений (неактивные ограничения). Такой подход оправдан, так как в задачах большого размера значительное число ограничений и переменных не влияет на выбор оптимального решения, и при решении этих задач проблема снижения размерности становится практически разрешимой.

* Председатель научного совета, доктор технических наук, профессор.

Применение упорядочения ограничений по жесткости и исключения бесперспективных переменных оправданно, если при небольших затратах на их реализацию удается значительно сократить размерность задачи, или если сочетание таких процедур с точным алгоритмом организовано эффективно.

Использование теории двойственности для определения бесперспективных переменных позволяет исключить из рассмотрения при поиске оптимального решения 30-95 % переменных в зависимости от размерности задачи.

Упорядочение ограничений по жесткости наиболее эффективно при использовании метода встречного решения функциональных уравнений динамического программирования. В этом методе решение задачи с М ограничениями заменяется решением более общей задачи с 1, 2, . М ограничениями, и функциональные уравнения динамического программирования решаются многократно в различных направлениях.

Из идеи метода вытекает целесообразность решения задачи, начиная с самого жесткого ограничения, наиболее влияющего на оптимальное решение, а при неудовлетворении остальным ограничениям в поиск следует включать менее жесткое ограничение и т.п. в порядке снижения жесткости ограничений. Кроме того, для повышения эффективности метода встречного решения предлагается включить при решении задачи по первому ограничению дополнительный отсев бесперспективных вариантов решения по целевой функции на основе метода ветвей и границ. Для определения жесткости ограничений, отсечения бесперспективных переменных и границ решения предлагается использовать теорию двойственности. Рассмотрим эту проблему подробнее.

Представим исходную задачу в следующем виде. Требуется максимизи-

ровать целевую функцию Я г (Х) при ограничениях: ^ ё (х. ) ^ Д,

¡=1 ¡=1 I = 1, 2, . М, х = 1, 2, . А,> = 1, 2, . Ы, где ёь(х) > 0, Г((х) > 0,; = 1, 2, . Ы, I = 1, 2, . М.

На основании принципа оптимальности метода динамического программирования можно составить два функциональных уравнения (1), (2):

= тах ( Г , Г Д — ё, (х ), Д — (х ). Д — ё (х )1+г (х )!,

Методы оптимизации

Специальность: Прикладная информатика

Целями освоения дисциплины (модуля) «Методы оптимизации» являются ознакомление студентов с вопросами построения оптимизационных математических моделей для конкретных предметных областей, обучение студентов основным понятиям теории нелинейной оптимизации и методам решения экстремальных задач. В курсе изучаются условия оптимальности в задачах математического программирования, элементы выпуклого анализа и теории оптимального управления, методы решения задач безусловной и условной оптимизации.

Читать еще:  Приложения для linux ubuntu

В курс включены основные понятия, изучаемые в таких дисциплинах как математический анализ, алгебра и геометрия дифференциальные уравнения, математические основы информатики. К дисциплинам, для которых освоение данной дисциплины необходимо как предшествующее, относится дисциплина базовой части математического и естественнонаучного цикла «Теория систем и системный анализ».

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

Знать: условия оптимальности в задачах безусловной оптимизации, классической задаче на условный экстремум, задачах выпуклой оптимизации, задачах математического программирования, основные понятия о простейших задачах вариационного исчисления и оптимального управления.

Уметь: применять условия оптимальности для анализа экстремальных задач из различных классов, доказывать основные теоремы теории нелинейной оптимизации.

Владеть: представлениями (навыками) в решении нелинейных задач оптимизации (методы нулевого порядка, сопряженных градиентов, условного градиента, методы штрафов, методы решения многоэкстремальных задач).

Содержание

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ. ЗАДАЧА БЕЗУСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И КЛАССИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. Понятие о задачах оптимизации. Примеры оптимизационных задач. Схема вычислительного эксперимента. Теоремы существования решения задач поиска экстремума. Необходимые и достаточные условия оптимальности в задаче безусловной оптимизации. Классическая задача на условный экстремум. Функция Лагранжа. Теоремы о необходимом условии оптимальности первого и второго порядка. Достаточные условия оптимальности.

2.ЭЛЕМЕНТЫ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА. УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ В ЗАДАЧАХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ. Выпуклые множества и выпуклые функции. Примеры. Внутренние операции в классе выпуклых функций. Выпуклая задача оптимизации и ее основные свойства. Дифференциальные критерии выпуклости. Сильно выпуклые функции и критерии сильной выпуклости. Теорема существования и единственности решения выпуклой задачи с сильно выпуклой целевой функцией. Проекция точки на множество. Теорема о разделяющей гиперплоскости и теорема об опорной гиперплоскости. Теорема отделимости. Теорема Фана. Необходимые условия оптимальности в терминах направлений. Дифференциальное условие оптимальности в задаче минимизации функции на выпуклом множестве. Конкретизация дифференциального условия оптимальности в задаче минимизации функции на выпуклом множестве для случаев, когда допустимое множество является гиперпараллелепипедом и неотрицательным октантом. Задача математического программирования. Необходимые условия оптимальности в задаче математического программирования (принцип Лагранжа). Условия регулярности в задаче математического программирования. Достаточные условия оптимальности, определяемые принципом Лагранжа, для регулярной задачи выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. Достаточные условия оптимальности в общей задаче математического программирования. Вектор Куна-Таккера. Теорема существования вектора Куна-Таккера, Основные теоремы теории двойственности. Теорема Куна-Таккера в форме двойственности. Формулировка принципа максимума. Простейшая задача оптимального быстродействия. Задача вариационного исчисления.

3. ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА. МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. Унимодальные функции. Оптимальный пассивный метод поиска минимума унимодальных функций. Метод Фибоначчи. Метод золотого сечения. Оптимальный пассивный метод поиска минимума липшицевых функций. Точная нижняя миноранта для функций, удовлетворяющих условию Липшица. Свойства точной нижней миноранты. Метод ломаных. Метод кусочно-линейной аппроксимации.

4. КЛАССИЧЕСКИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БЕЗУСЛОВНОЙ И УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ. Начальные сведения о численных методах оптимизации функций многих переменных. Сходимость и скорость сходимости методов оптимизации. Условия остановки. Направление убывания. Выбор длины шага в методах спуска. Градиентный метод. Сходимость в случае невыпуклой минимизируемой функции. Сходимость и оценка скорости сходимости в случае сильно выпуклой минимизируемой функции. Обсуждение метода. Примеры. Метод Ньютона и его модификации. Квазиньютоновские методы. Примеры. Понятие сопряженных направлений и их свойства. Методы сопряженных направлений. Метод сопряженных градиентов. Метод сопряженных направлений нулевого порядка. Метод Хука-Дживса. Метод Нелдера-Мида. Примеры. Метод проекции градиента. Теорема сходимости. Обсуждение метода. Метод условного градиента и его сходимость. Конечный метод решения задач квадратичного программирования. Метод линеаризации. Сходимость метода штрафных функций. Оценки скорости сходимости. Простейший алгоритм метода штрафов. Примеры. Метод параметризации целевой функции. Методы, основанные на редукции размерности. Методы, основанные на априорной информации о минимизируемой функции.

Лабораторный практикум

1.Построение нелинейных оптимизационных моделей. Задача безусловной оптимизации. Классическая задача на условный экстремум.

2. Выпуклые множества и выпуклые функции. Критерии выпуклости и сильной выпуклости. Выпуклая задача оптимизации. Теорема существования и единственности. Условие оптимальности в задаче минимизации функции на выпуклом множестве. Задача математического программирования. Принцип Лагранжа. Условия регулярности в задаче математического программирования. Теорема Куна — Таккера в дифференциальной форме.

Читать еще:  Анализ методов решения комбинаторных оптимизационных задач

3. Метод Фибоначчи. Метод золотого сечения. Оптимальный одношаговый метод в классах, определяемых априорной информацией о минимизируемой функции. Метод ломаных.

4. Градиентный метод. Квазиньютоновские методы. Методы сопряженных направлений. Метод проекции градиента. Метод условного градиента. Метод линеаризации. Методы штрафов.

Литература

а) основная литература

  1. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 19801.
  2. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1981
  3. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. – М.: Наука, 1986
  4. Карманов В.Г. Математическое программирование. – М.: Наука, 1986

Методы решения задач линейного программирования. Теория двойственности в линейном программировании

Методические указания и контрольные задания

для студентов экономического факультета

заочной формы обучения по дисциплине

«Экономико–математические методы»

УДК 519.852 (071)

ББК 22.18(p30)

Методические указания и контрольные задания для студентов экономического факультета заочной формы обучения по дисциплине «Экономико–математические методы» выполнены старшим преподавателем кафедры «Экономическая кибернетика» В.Б.Кузнецовым.

Методические указания предназначены для самостоятельного выполнения контрольной работы по дисциплине «Экономико – математические методы» студентами 2 курса экономического факультета заочной формы обучения. Указания содержат примеры решения типовых задач по дисциплине «Экономико – математические методы».

Методические указания одобрены методической комиссией экономического факультета (протокол ).

Рецензенты:

кандидат экономических наук, доцент Г. А. Кокшарова,

доцент П. А. Арсенов

Кузнецов В.Б.

Методические указания и контрольные задания для студентов экономического факультета заочной формы обучения по дисциплине «Экономико–математические методы». Учебно-методические указания/ Кузнецов В.Б. — Вологда – Молочное: ИЦ ВГМХА, 2010. – 42 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Методы решения задач линейного программирования. Теория двойственности в линейном программировании. 4

2. Транспортная задача и методы ее решения. 20

3. Решение матричных игр. 31

4. Решение задачи линейного программирования в табличном процессоре Excel 36

5. Анализ решения задачи линейного программирования в табличном процессоре Excel 39

6. Решение транспортной задачи в табличном процессоре Excel 42

7. Вопросы для выполнения контрольной работе по экономико–математическим методам для студентов экономического факультета заочного отделения 45

8. Задачи для выполнения контрольной работы по экономико–математическим методам для студентов экономического факультета заочного отделения 47

9. Литература. 51

10. Правила выполнения и оформления контрольной работы.. 52

Введение

В методических указаниях рассматриваются основные типы задач по дисциплине «Экономико–математические методы», изучаемой студентами экономических специальностей заочной формы обучения.

Методические указания служат руководством для студентов – заочников при самостоятельном выполнении контрольных заданий по дисциплине «Экономико–математические методы».

С их помощью в условиях дефицита учебной литературы студент – заочник может самостоятельно разобраться в основных типах задач и без посторонней помощи справиться с выполнением контрольных заданий.

Методы решения задач линейного программирования. Теория двойственности в линейном программировании

На предприятии имеется возможность выпускать 2 вида продукции P1 и P2. При её изготовлении используются ресурсы R1, R2 и R3. Размеры допустимых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2 и b3. Расход ресурса i–го вида (i=1, 2, 3) на единицу продукции j–го вида составляет aij единиц. Цена единицы продукции i–го вида равна ci ден. ед. Найти план выпуска продукции по видам с учётом имеющихся ограниченных ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход.

Требуется:

1) составить математическую модель задачи линейного программирования;

2) найти оптимальное решение задачи линейного программирования графическим методом;

3) найти оптимальное решение задачи линейного программирования симплексным методом;

4) записать двойственную задачу и дать ее экономическую интерпретацию;

5) используя оптимальное решение исходной задачи, найти оптимальное решение двойственной задачи;

6) указать наиболее и наименее дефицитный ресурс;

7) установить, целесообразно ли выпускать новую продукцию P3, на единицу которой ресурсы R1, R2 и R3 расходуются в количествах d1, d2и d3единиц, а цена продукции составляет z денежных единиц: d1=1, d2=2, d3=3, z=15

Все необходимые числовые данные приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Исходные данные

Решение

Для того чтобы, можно было использовать математические методы для нахождения оптимального решения, необходимо составить математическую модель задачи оптимизации.

Математическая модель — математическое описание исследуемого процесса или явления. Процесс построения математической модели называют моделированием.

Построение математической модели задачи оптимизации можно разбить на следующие этапы:

1. Определение границ объекта оптимизации. Выполнение этого этапа носит неформальный характер и выходит за границы математики.

2. Выбор переменных, значения которых можно менять и выбирать с целью достижения наилучшего результата.

3. Определение ограничений на переменные.

4. Выбор числового критерия оптимизации. Числовой критерий оптимизации – функция, зависящая от выбранных переменных; минимальное или максимальное значение которой необходимо определить. Числовой критерий оптимизации иначе называют целевой функцией.

Читать еще:  Оптимизатор игр на андроид

Построим математическую модель задачи линейного программирования.

Исходя из условий задачи, невозможно установить границы объекта оптимизации. Поэтому перейдем ко второму этапу – вводу переменных.

Составим систему ограничений. Предположим что, все затраты ресурсов растут прямо пропорционально объёму выпуска продукции. Более точно, допустим, что затраты при выпуске xi единиц продукции Pi описываются вектором (a1ixi, a2ixi, a3ixi), причем одновременное использование нескольких технологических процессов приводит к суммарным затратам. Также учтем, что переменные, исходя из экономического смысла, должны принимать неотрицательные значения. В итоге получаем следующую систему ограничений:

Запишем целевую функцию. Исходя из условия задачи, стоимость продукции должна быть максимальной. Стоимость продукции можно записать в виде следующей функции:

Окончательно математическая модель задачи имеет следующий вид:

Математическая модель задачи представляет собой задачу линейного программирования, так как целевая функция и все функции в ограничениях являются линейными функциями.

Число переменных равно двум, поэтому значения переменных можно рассматривать как координаты точки на плоскости. Решим задачу линейного программирования графическим методом.

Решение задачи линейного программирования графическим методом можно разбить на два этапа.

1 этап — построение множества допустимых решений (допустимого множества).

Упорядоченный набор значений переменных (x1, x2,….xn) (иначе точка или вектор x с координатами (x1, x2,….xn)), удовлетворяющий ограничениям задачи линейного программирования называется допустимым решением (или планом) задачи линейного программирования. Множество всех допустимых решений задачи линейного программирования (далее, для краткости, ЗЛП) называется допустимым множеством этой задачи.

Построим множество решений неравенства Для этого мысленно заменим знак неравенства равенством и построим на плоскости прямую, заданную уравнением

Найдем множество решений неравенства Используем следующее утверждение. Если две точки плоскости не лежат на этой прямой; то их взаимное расположение относительно этой прямой определяется знаками величин выражений и . Если знаки величин выражений одинаковые, то точки лежат по одну сторону от прямой; если разные – по разные стороны от прямой.

Возьмет точку O и подставим ее координаты в выражение 3*0+4*0-30=-30

Теория двойственности методы оптимизации

Любой задаче линœейного программирования можно сопоставить сопряженную или двойственную ей задачу. Причем, совместное исследование этих задач дает, как правило, значительно больше информации, чем исследование каждой из них в отдельности.

Любую задачу линœейного программирования можно записать в виде

Первоначальная задача принято называть исходной или прямой.

Модель двойственной задачи имеет вид:

Переменные двойственной задачи называют объективно обусловленными оценками или двойственными оценками.

Связь исходной и двойственной задач заключается, в частности, в том, что решение одной из них должна быть получено непосредственно из решения другой. Каждая из задач двойственной пары фактически является самостоятельной задачей линœейного программирования и должна быть решена независимо от другой.

Двойственная задача по отношению к исходной составляется согласно следующим правилам:

1. целœевая функция исходной задачи формулируется на максимум, а целœевая функция двойственной задачи – на минимум, при этом в задаче на максимум всœе неравенства в функциональных ограничениях имеют вид , а в задаче на минимум – вид ;

2. матрица составленная из коэффициентов при неизвестных в системе ограничений исходной задачи, и аналогичная матрица в двойственной задаче получаются друг из друга транспонированием;

3. Число переменных в двойственной задаче равно числу функциональных ограничений исходной задачи, а число ограничений в системе двойственной задачи – числу переменных в исходной задаче;

4. Коэффициентами при неизвестных в целœевой функции двойственной задачи являются свободные члены в системе ограничений исходной задачи, а правыми частями в ограничениях двойственной задачи – коэффициенты при неизвестных в целœевой функции исходной задачи;

5. Каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи: номер переменной совпадает с номером ограничения; при этом ограничению, записанному в виде неравенства , соответствует переменная, связанная условием неотрицательности. В случае если функциональное ограничение исходной задачи является равенством, то соответствующая переменная двойственной задачи может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Математические модели пары двойственных задач бывают симметричными и несимметричными. В несимметричных двойственных задачах система ограничений исходной задачи задается в виде равенств, а двойственной – в виде неравенств, причем переменные в двойственной задаче бывают и отрицательными. В симметричных двойственных задачах система ограничений как исходной, так и двойственной задачи задается в виде неравенств, причем на двойственные переменные налагается условие неотрицательности.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector