Green-sell.info

Новые технологии
5 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Решение задач оптимизации в mathcad

Решение оптимизационных задач в пакете M ath CAD

Оптимизационные задачи можно разделить на два класса:

задачи безусловной оптимизации (или оптимизация без ограничений).

задачи условной оптимизации (оптимизация с ограничениями).

Вторая задача отличается от первой тем, что решение ищется только среди допустимых значений или, иначе, на допустимом множестве значений переменных задачи, которые удовлетворяют заданным ограничениям.

Решение оптимизационных задач без ограничений

Для этого используются две функции MathCAD :

· Maximize ( f , ) – вычисление точки максимума;

где f – имя минимизируемого функционала, определенного до обращения к функции; – содержит перечисление (через запятую) имен параметров, относительно которых решается оптимизационная задача.

Внимание! Перед обращением к функциям Maximize , Minimize (имена которых начинаются прописными буквами) следует обязательно задать начальное значение параметров оптимизации.

Пример. Дан функционал:

.

Пример. Дан функционал:

.

Определить значения u , v , при которых f ( u , v ) достигает максимального значения.

Задание. Дан функционал:

.

Определить точки минимума и максимума этого функционала.

Решение оптимизационных задач с ограничениями

Используются те же функции Maximize, Minimize, но они входят уже в блок решения Given и перед ними размещаются ограничения в виде равенств или неравенств, определяющие допустимую область значений параметров оптимизации.

Пример. Дан функционал и ограничения в виде

Определить значения a , b , доставляющие максимальное значение функционала и удовлетворяющие неравенствам.

Замечание. В оптимизационных задачах с ограничениями решение целесообразно определять из необходимых условий экстремума. Эти условия порождают систему уравнений (чаще всего нелинейных), которые располагаются в блоке Given , вместе с ограничениями, определяющими допустимую область. Само решение ищется с помощью функций Find, Minerr.

Пример. В качестве тестового функционала при поиске точки минимума часто используется функционал Розенброка:

.

«Поверхность» этого функционала напоминает глубокий овраг, что сильно осложняет работу многих алгоритмов минимизации. Требуется вычислить точку минимума функционала при ограничениях:

.

Пример (задача линейного программирования ). Цех малого предприятия должен изготовить 100 изделий трех типов и не менее 20 штук изделий каждого типа. На изделия уходит 4, 3.4 и 2 кг металла соответственно, при его общем запасе 340 кг , а также расходуются по 4.75, 11 и 2 кг пластмассы, при ее общем запасе 400 кг . Прибыль, полученная от каждого изделия равна 4, 3 и 2 рублей.

Определить сколько изделий каждого типа необходимо выпустить, для получения максимальной прибыли в рамках установленных запасов металла и пластмассы.

Пример 9.2.4 (задача нелинейного программирования) . Пусть вектор v состоит из трех проекций и дан функционал:

Вычислить точку минимума этого функционала при ограничениях:

Задание 9.2.1 адача линейного программирования). Дан функционал:

.

Определить точку максимума этого функционала при ограничениях:

Вычислить значения функционала в этой точке.

максимум функционала достигается в точке (0, 13, 8).

Задание (задача квадратичного программирования). Дан функционал:

Определить точку максимума этого функционала при ограничениях:

максимум функционала достигается в точке (7.5, 10, 6).●

Оптимизация функций одной и нескольких переменных в PTC MathCAD

1. Поиск экстремума функции

Задачи поиска экстремума функции означают нахождение ее максимума (наибольшего значения) или минимума (наименьшего значения) в некоторой области определения ее аргументов. Ограничения значений аргументов, задающих эту область, как и прочие дополнительные условия, должны быть определены в виде системы неравенств и (или) уравнений. В таком случае говорят о задаче на условный экстремум.

Для решения задач поиска максимума и минимума в Mathcad имеются встроенные функции Minerr, Minimize и Maximize. Все они используют те же градиентные численные методы, что и функция Find для решения уравнений.

2. Экстремум функции одной переменной

Поиск экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального и глобального экстремума. Последние называют еще задачами оптимизации. Рассмотрим конкретный пример функции f(x), показанной графиком на рис.2 на интервале (-2,5). Она имеет глобальный максимум на левой границе интервала, глобальный минимум, локальный максимум, локальный минимум и локальный максимум на правой границе интервала (в порядке слева направо).

В Mathcad с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Последний путь таит в себе некоторую опасность уйти в зону другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее из соображений экономии времени.

Рис. 1. График функции f(х)=х 4 +5х 3 -10х

Построим график заданной функции (рис.1). По графику видны участки локальных экстремумов функции.

Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

· Minimize (f, x1, … ,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;

· Maximize (f, х1, … ,хм) — вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;

Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения. Примеры вычисления экстремума функции одной переменной (рис.1) без дополнительных условий показаны в листинге на рис.2. Поскольку никаких дополнительных условий в них не вводится, поиск экстремумов выполняется для любых значений.

Рис.2. Поиск локальных экстремумов функции одной переменной

Как видно из листинга, существенное влияние на результат оказывает выбор начального приближения, в зависимости от чего в качестве ответа выдаются локальные различные экстремумы. В последнем случае численный метод вообще не справляется с задачей, поскольку начальное приближение х=-10 выбрано далеко от области локального максимума, и поиск решения уходит в сторону увеличения f (х).

3. Условный экстремум

В задачах на условный экстремум функции минимизации и максимизации должны быть включены в вычислительный блок, т. е. им должно предшествовать ключевое слово Given. В промежутке между Given и функцией поиска экстремума с помощью булевых операторов записываются логические выражения (неравенства, уравнения), задающие ограничения на значения аргументов минимизируемой функции. На рис.3 показаны примеры поиска условного экстремума на различных интервалах, определенных неравенствами. Сравните результаты работы этого листинга с двумя предыдущими.

Читать еще:  Методы оптимизации ассортимента продукции

Рис. 3. Три примера поиска условного экстремума функции

Не забывайте о важности выбора правильного начального приближения и в случае задач на условный экстремум. Например, если вместо условия — 3

Александр Малыгин

Объект обсуждения — программное обеспечение для выполнения автоматизированного конструкторского и технологического проектирования, разработки управляющих программ, вопросы, связанные с разработкой прикладных САПР.

4 thoughts to “Оптимизация функций одной и нескольких переменных в PTC MathCAD”

Спасибо, очень информативано! Скажите, а для 9 переменных такая же функция и такой же принцип используется?

Функция будет другая. Вы сами подбираете вид функции, остальное аналогично.

Добрый день!
Скажите, если у меня есть интересная задача многокритериального поиска когда целевая функция есть набором других функций, например целевая функция Р=f(y1,y2,y3,y4,y5), где:
y1=f(a,b,c,d);
y2=f(c,d,e,g);
y3=f(c, h,k,);
y4=f(b,d);
y5=f(d,l,m).
Причем есть только один параметр, например d который входит во все значения промежуточных ф-ций y1…y5 и соответственно функционала Р. Остальные параметры между собой не связаны, или связаны косвенно.Задачей оптимизации является поиск таких значений Р при котором, например y1-max, y2>=const, y3…y5-min.
Есть ли возможность решить данную задачу в МАТКАД-е?
Буду очень признателен за внятный ответ.
Спасибо!

Думаю, что автоматически такую задачу решить нельзя нигде. Нужно задачу разбить на более простые части, а их на еще более простые, тогда и решить можно в Matcad.

МОДЫ Grand Theft Auto V

Крупнейший сборник модов для Grand Theft Auto V и GTA San Andreas

Решение оптимизационных задач в mathcad

Оптимизационные задачи можно разделить на два класса:

задачи безусловной оптимизации (или оптимизация без ограничений).

задачи условной оптимизации (оптимизация с ограничениями).

Вторая задача отличается от первой тем, что решение ищется только среди допустимых значений или, иначе, на допустимом множестве значений переменных задачи, которые удовлетворяют заданным ограничениям.

Решение оптимизационных задач без ограничений

Для этого используются две функции MathCAD :

где f – имя минимизируемого функционала, определенного до обращения к функции; – содержит перечисление (через запятую) имен параметров, относительно которых решается оптимизационная задача.

Внимание! Перед обращением к функциям Maximize , Minimize (имена которых начинаются прописными буквами) следует обязательно задать начальное значение параметров оптимизации.

Пример. Дан функционал:

.

Пример. Дан функционал:

.

Определить значения u , v , при которых f ( u , v ) достигает максимального значения.

Задание. Дан функционал:

.

Определить точки минимума и максимума этого функционала.

Решение оптимизационных задач с ограничениями

Используются те же функции Maximize, Minimize, но они входят уже в блок решения Given и перед ними размещаются ограничения в виде равенств или неравенств, определяющие допустимую область значений параметров оптимизации.

Пример. Дан функционал и ограничения в виде

Определить значения a , b , доставляющие максимальное значение функционала и удовлетворяющие неравенствам.

Замечание. В оптимизационных задачах с ограничениями решение целесообразно определять из необходимых условий экстремума. Эти условия порождают систему уравнений (чаще всего нелинейных), которые располагаются в блоке Given , вместе с ограничениями, определяющими допустимую область. Само решение ищется с помощью функций Find, Minerr.

Пример. В качестве тестового функционала при поиске точки минимума часто используется функционал Розенброка:

.

«Поверхность» этого функционала напоминает глубокий овраг, что сильно осложняет работу многих алгоритмов минимизации. Требуется вычислить точку минимума функционала при ограничениях:

.

Пример (задача линейного программирования ). Цех малого предприятия должен изготовить 100 изделий трех типов и не менее 20 штук изделий каждого типа. На изделия уходит 4, 3.4 и 2 кг металла соответственно, при его общем запасе 340 кг , а также расходуются по 4.75, 11 и 2 кг пластмассы, при ее общем запасе 400 кг . Прибыль, полученная от каждого изделия равна 4, 3 и 2 рублей.

Определить сколько изделий каждого типа необходимо выпустить, для получения максимальной прибыли в рамках установленных запасов металла и пластмассы.

Пример 9.2.4 (задача нелинейного программирования) . Пусть вектор v состоит из трех проекций и дан функционал:

Вычислить точку минимума этого функционала при ограничениях:

Задание 9.2.1 адача линейного программирования). Дан функционал:

.

Определить точку максимума этого функционала при ограничениях:

Вычислить значения функционала в этой точке.

максимум функционала достигается в точке (0, 13, 8).

Задание (задача квадратичного программирования). Дан функционал:

Определить точку максимума этого функционала при ограничениях:

максимум функционала достигается в точке (7.5, 10, 6).●

Для решения оптимизационных задач используются две функции MathCAD:

– вычисление точки максимума

– вычисление точки минимума

f – имя целевой функции, определенной до обращения к функции;

– содержит перечисление (через запятую) имен параметров, относительно которых решается оптимизационная задача.

Замечание: Перед обращением к функциям Maximize, Minimize (имена которых начинаются прописными буквами) следует обязательно задать начальное значение параметров оптимизации.

Запустите MathCAD и определите целевую функцию. Для вода символа присваивания “:=” используйте комбинацию клавиш “CTRL+:” или соответствующую кнопку на панели инструментов

Введите начальные значения и

Введите ключевое слово givenи задайте ограничения

На панели инструментов Matrix щелкните по кнопке или нажмите комбинацию клавиш “CTRL + M” и добавьте матрицу с одним столбцом и количеством строк, соответствующим количеству переменных:

Укажите в качестве элементов матрицы имена переменных и определите матрицу с помощью функции Maximize (т.к. ищется максимум функции):

Найдите значение матрицы и соответствующего значения целевой функции:

Таким образом, максимальная прибыль достигается при производстве 12 изделий вида и 6 изделий вида .

Ответ: при плане

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Читать еще:  Оптимизация системной памяти

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8913 — | 7222 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

БлогNot. MathCAD: задача оптимизации в целых числах

MathCAD: задача оптимизации в целых числах

По случаю, помогал тут человеку. Известно, что в Excel при решении задач линейного или нелинейного программирования инструментом «Поиск решения» можно дополнительно указывать, что искомые значения должны быть целочисленными. Можно ли аналогично решать целочисленные задачи в Маткаде стандартными функциями Maximize / Minimize ?

Рассмотрим пример решения такой задачи обычным способом: для целевой функции f(x1,x2)=5*x2-3*x1 найти минимум при системе ограничений 2×1+3×2≤5, x1≥0, x2≥0 :

Для некоторых версий MathCAD существует пакет расширения SOEP (Solving and Optimization Extension Pack), в котором имеется возможность уточнить тип результата — просто в завершающих функциях блока Given последним параметром ставится строка, указывающая тип переменной в системе уравнений. Местоположение целой переменной обозначается
I , бинарной — В , и т.д.:

f(x1,x2)=5*x2-3*x1
Given
2×1+3×2≤5 x1≥0 x2≥0
Minimize (f,x1,x2,»II»)

В базовой комплектации MathCAD целочисленные задачи математического программирования, к сожалению, не решаются. В простейшем случае, таком, как задача на скрине выше, решить можно простым перебором:

Здесь мы, с учётом ограничений на неотрицательность x1 и x2 и ограничения-неравенства, просматриваем область с целочисленными значениями аргументов от 0 до 5 включительно и формируем матрицу из значений целевой функции от пар аргументов (x1,x2) . При этом мы заменяем «неподходящие», то есть, не отвечающие ограничению-неравенству позиции в матрице «заведомо большим» значением MAX . После этого остаётся только найти в матрице минимальный элемент и определить его индексы стандартной функцией match .

Разумеется, на больших размерностях полный перебор можно заменить чем-то более культурным, скажем, методом ветвей и границ.

07.05.2013, 15:11; рейтинг: 18541

Решение задач оптимизации в mathcad

Математика/ 4. Прикладная математика

Фазылова Л.С., Мукимбекова Д.М.

Карагандинский государственный университет им. Е.А. Букетова, Казахстан

Применение системы MathCad для решения задач условной оптимизации

Применение новых информационных технологий в учебном процессе позволяет повысить не только эффективность, но и качество подготовки специалистов. При подготовке специалистов высшей квалификации по специальности «Математическое и компьютерное моделирование» изучение численных методов решения задач на условный экстремум является важной частью курса «Методы оптимизации» [1] . Применение пакетов прикладных программ, таких как MathCad , Matlab , для решения задач данного типа во много раз ускорит учебный процесс и позволит студентам приобрести навыки математического и компьютерного моделирования различных оптимизационных задач.

В данной работе рассматриваются вопросы применения системы MathCad (МС) при решении задач на условный экстремум. Для нахождения локальных или глобальных экстремумов в системе MathCad используются функции Minimize и Maximize [2] . Сложность заключается в выборе начальной точки и указании области, в которой ищется экстремум.

Во-первых, нужно задать функцию. Возьмем функцию

.

Вызовем панель Graph. Построим график функции. По рисунку 1 видно, что минимумов несколько.

Однако по рисунку их положение определить сложно. Значительно больше информации получим, построив линии уровня функции. Это тоже можно сделать с помощью системы МС. Нажмем на панели Graph кнопку с изображением линий уровня.

Возникнет шаблон, как и при построении графика. Впишем в шаблон имя функции и щелкнем мышью за пределами блока. Полученный чертеж можно улучшить. Во-первых, на линиях уровня можно указать значение функции. Для этого нужно вызвать окно форматирования, вкладку Special и на ней установить флажок Numbered. Результат представлен на рисунке 2.

Полученное изображение можно заполнить цветом, причем цвет будет соответствовать значению функции в точке. Соответствие цвета и величины значения такое же, как и на графике.

Для заполнения цветом нужно вызвать окно форматирования, выбрать вкладку Special и поставить флажок Fill. Чтобы не убирать окно форматирования, можно вместо клавиши OK нажать клавишу «Применить». Можно сделать линии уровня более гладкими. Для этого в окне форматирования нужно вызвать вкладку QuickPlot Data и заполнить позиции start, end, # of Grids. В нашем случае в столбце Range 1 поставим start − 4, end 4, # of Grids 40 и аналогично в столбце Range 2 (рис. 3).

Экстремумы функции будут находиться внутри самых маленьких замкнутых кривых. Из рисунка 3 видим, что один локальный экстремум нужно искать в области , а второй – в области , третий в области . По цвету видно, что максимальные значения находятся в угловых точках области.

Для нахождения одной из точек локального минимума зададим начальное приближение и сформируем вычислительный блок:

Получили, что первой точкой локального минимума является точка (−0.487; 0).

Видим, что вторая точка локального минимума − это точка (1.461; 0). Значение функции в ней больше, чем в предыдущей точке. Таким образом, предыдущая точка является точкой глобального минимума. При желании можете найти третью точку локального минимума и убедиться, что в ней значение функции еще больше.

Найдем теперь точки максимума:

Теперь результат соответствует действительности. Эта точка похожа на точку локального максимума. Однако проверим еще один угол нашей области:

Таким образом, наибольшее значение функции в области достигается в точке (−4; 4).

Заметим, что функция является четной по переменно й y , поэтому то, что в точках минимума , можно было предсказать заранее, значение функции в точках (−4; −4) и (4; −4) можно не исследовать.

Не претендуя на новизну, авторы предлагают один из подходов к решению задач на условный экстремум, который основан на использовании графических возможностей и библиотек функций системы MathCad. Данный подход позволяет автоматизировать процесс решения задач оптимизации, дает возможность студентам эффективно осваивать материалы курса «Методы оптимизации» и может применяться в учебном процессе.

Читать еще:  Задача многокритериальной оптимизации

1. Пантелеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие для студ. ВТУЗов/ Пантелеев А.В.. — М.: Высш.школа, 2008. — 544с.

Векторная оптимизация с программированием в среде Mathcad при комплексировании машин и агрегатов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Богатырев Владимир Анатольевич, Булыгин Кирилл Александрович, Пинкевич Василий Юрьевич

Рассматриваются возможности использования средств программирования в системе математических расчетов Mathcad для создания набора функций, направленного на поддержку решения задач целочисленной векторной оптимизации . В качестве объекта оптимизации рассматривается комплекс машин и агрегатов, предусматривающих многоэтапный процесс выполнения работ.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Богатырев Владимир Анатольевич, Булыгин Кирилл Александрович, Пинкевич Василий Юрьевич

Vector optimisation with programming in the environment of Mathcad at

Possibilitiesof use of means of programming in system of mathematical calculations Mathcad for the creation of a set of functions directed on support of the decision of problems of integervector optimisation. As object of optimisation the complex of cars and the units providing многоэтапный process of performance of works.

Текст научной работы на тему «Векторная оптимизация с программированием в среде Mathcad при комплексировании машин и агрегатов»

ВЕКТОРНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ С ПРОГРАММИРОВАНИЕМ В СРЕДЕ МАГИСАБ ПРИ КОМПЛЕКСИРОВАНИИ МАШИН И АГРЕГАТОВ

В.А. Богатырев1, К.А. Булыгин2, В.Ю. Пинкевич3

1 Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики

191015, Санкт-Петербург, ул. Кавалергардская, 7

, Национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики. 197101, Санкт-Петербург, пр. Кронверкский, 49

Аннотация — Рассматриваются возможности использования средств программирования в системе математических расчетов Mathcad для создания набора функций, направленного на поддержку решения задач целочисленной векторной оптимизации. В качестве объекта оптимизации рассматривается комплекс машин и агрегатов, предусматривающих многоэтапный процесс выполнения работ.

Ключевые слова: целочисленной векторной оптимизации, МаШса^ программирование, аддитивный критерий, надежность, среднее время пребывания.

VECTOR OPTIMISATION WITH PROGRAMMING IN THE ENVIRONMENT OF MATHCAD AT КОМПЛЕКСИРОВАНИИ CARS AND UNITS

V.A.Bogatyrev, Bulygin K.A, Pinkevich V. J

St. -Petersburg state university of service and economy (SPbSUSE), 191015, St.-Petersburg, street Kavalergardsky,7, lit. A National Research University of Information Technologies, Mechanics and Optics

197101, St.-Petersburg, avenue Kronverksky 49 Summary — Possibilitiesof use of means of programming in system of mathematical calculations Mathcad for the creation of a set of functions directed on support of the decision of problems of integervector optimisation. As object of optimisation the complex of cars and the units providing многоэтапный process of performance of works.

Keywords: integer vector optimisation, Mathcad, programming, additive criterion, reliability, average time of stay.

Проектирование машин, агрегатов и их комплексирование в системы требует решения задачи оптимизации структуры с целью максимизации надежности и производительности системы при минимизации затрат на ее построение и эксплуатацию.

Задача оптимизации является векторной, её сложность обусловлена тем, что одно решение (альтернатива) может превосходить другую по одним показателям и уступать по другим [1].

В статье рассматривается задача векторной оптимизации при построении резервированных комплексов машин и агрегатов, реализующих многоэтапный процесс выполнения работ [2,3].

Эффективность поиска наилучших решений по реализации структуры исследуемых многоуровневых систем во многом зависит от выбора инструментальных средств оптимизации и эффективности их использования.

Решение оптимизационной задачи с использованием встроенных функций Minimize(f, x1, x2. .yMaxmizetf, x1, x2. ) системы Mathcad сопряжено с трудностями получения целочисленного решения и определения параметров оптимизации над знаком суммы целевой функции- [2-11].

В предлагаемой статье рассматриваются возможности использования средств программирования в системе математических расчетов Mathcad для со-

здания набора функций, направленного на поддержку решения задач целочисленной векторной оптимизации.

Постановка задачи оптимизации

В качестве объекта оптимизации рассмотрим комплекс машин и агрегатов, предусматривающих многоэтапный процесс выполнения работ. Для повышения надежности и производительности системы предусматривается резервирование машин, реализующих различные этапы процесса обработки.

Требуется найти число (кратность резервирования) машин, реализующих каждый этап обработки (тг,т2. тм) ,

при котором обеспечивается максимум надежности системы, минимум среднего времени пребывания в ней запросов, а стоимость реализации системы не должна превышать выделенных на это средств:

Возможна также другая постановка задачи. Требуется найти число машин, реализующих каждый этап обработки, при котором стоимость реализации системы минимальна и обеспечиваются требуемые технические показатели системы:

При этом Т0, P0, C0 — предельно допустимые значения среднего времени реализации процесса обработка, надежности и стоимости системы.

При оптимизации будем считать заданными:

• интенсивность входного потока запросов X;

• показатели надежности машин (вероятности безотказной работы)

• средние времена выполнения запросов машинами на этапах обработки VI ,уг,уъ. ум

• стоимости машин, выполняющих соответствующие этапы процесса обработкис,С,С. см .

Решение рассматриваемых задач векторной оптимизации, как правило, включает поиск области Парето и выработку решающего правила, основанного на компромиссе между значениями компонент векторного показателя.

Оценка частных показателей качества

Возможности системы по обработке запросов определим по среднему времени пребывания запросов в системе и по ее надежности [4, 10]. В простейшем случае каждый узел представим системой массового обслуживания типа М/М/1. Считая, что каждый запрос последовательно обслуживается одним из исправных узлов на каждом уровне системы, среднее время пребывания запросов в системе оценим как:

где (т,т2,т. тм) — число узлов на каждом уровне.

Надежность системы оценим по вероятности сохранения работоспособности, которая зависит от формулировки условия отказа (сохранения функционирования У).

Если система работоспособна, когда исправно не менее чем di узлов на i-м уровне системы, то надежность системы оценим как [5, 6]:

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector