Green-sell.info

Новые технологии
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Постановка оптимизационной задачи

Постановка задачи оптимизации;

С использованием математических моделей

Оптимизация химико-технологических процессов

Лекция 7

В настоящее время для решения задач оптимизации разработано значительное число методов, однако нельзя отдать предпочтение какому-либо одному. Выбор метода определяется сложностью объекта и решаемой задачей оптимизации.

Для современного подхода к оптимизации характерна формализация задачи. Задача формулируется стандартным образом, после чего дальнейшее ее решение проводится на основе четкого однозначного рецепта – алгоритма.

Оптимизация в широком смысле слова находит применение в науке, технике и в любой другой области человеческой деятельности.

Оптимизацияцеленаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации (вариационное исчисление, численные методы и др.). Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев — невозможно. Особенно большие трудности возникали при решении задач оптимизации процессов в химической технологии из-за большого числа параметров и их сложной взаимосвязи между собой. При наличии ЭВМ задача заметно упрощается.

Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например:

— количество продукции – расход сырья;

— количество продукции – качество продукции.

Выбор компромиссного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения оптимизационной задачи.

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого.

Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации:

«Получить максимальную производительность при минимальной себестоимости».

Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимума 2-х величин, противостоящих друг другу по своей сути.

Правильная постановка задачи могла быть следующая:

а) получить максимальную производительность при заданной себестоимости;

б) получить минимальную себестоимость при заданной производительности.

В первом случае критерий оптимизации – производительность, а во втором –себестоимость.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизирующего объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы – управляющими воздействиями.

3. Возможность количественной оценки оптимизирующей величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

4. Учет ограничений.

Как правило, формулировка задачи оптимизации включает:

1) выбор критерия оптимальности;

2) установление ограничений;

3) выбор оптимизирующих факторов;

4) запись целевой функции.

Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, цех, завод). Оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой – критерием оптимальности.

Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации.

Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

Наиболее общей постановкой оптимальной задачи является выражение критерия оптимальности в виде экономической оценки (производительность, себестоимость продукции, прибыль, рентабельность). Однако в частых задачах оптимизации, когда объект является частью технологического процесса, не всегда удается или не всегда целесообразно выделять прямой экономический показатель, который бы полностью характеризовал эффективность работы рассматриваемого объекта. В таких случаях критерием оптимальности может служить технологическая характеристика, косвенно оценивающая экономичность работы агрегата (время контакта, выход продукта, степень превращения, температура). Например, устанавливается оптимальный температурный профиль, длительность цикла –«реакция-регенерация». Но в любом случае любой критерий оптимальности имеет экономическую природу.

Рассмотрим более подробно требования, которые должны предъявляться к критерию оптимальности.

1. Критерий оптимальности должен выражаться количественно.

2. Критерий оптимальности должен быть единственным.

3. Критерий оптимальности должен отражать наиболее существенные стороны процесса.

4. Желательно, чтобы критерий оптимальности имел ясный физический смысл и легко рассчитывался.

Любой оптимизируемый объект схематично можно представить следующим образом (рис. 7.1).

При постановке конкретных задач оптимизации критерий оптимальности должен быть записан в виде аналитического выражения. В том случае, когда случайные возмущения невелики, и их воздействие на объект можно не учитывать, критерий оптимальности может быть представлен как функция входных, выходных и управляющих параметров:

Так как Y=f(U), то при фиксированных Х можно записать:

При этом всякое изменение значений управляющих параметров двояко сказывается на величине R:

прямо, т.к. управляющие параметры непосредственно входят в выражение критерия оптимизации;

косвенно– через изменение выходных параметров процесса, которые зависят от управляющих.

В принципе, для оптимизации вместо математической модели можно использовать и сам объект, однако оптимизация опытным путем имеет ряд существенных недостатков:

а) необходим реальный объект;

б) необходимо изменять технологический режим в значительных пределах, что не всегда возможно;

в) длительность испытаний и сложность обработки данных.

Наличие математической модели (при условии, что она достаточно надежно описывает процесс) позволяет значительно проще решить задачу оптимизации аналитическим либо численным методами.

В задачах оптимизации различают простые и сложные критерии оптимизации. Критерий оптимальности называется простым, если требуется определить экстремум целевой функции без задания условий на какие-либо другие величины. Такие критерии обычно используются при решении частных задач оптимизации (например, определение максимальной концентрации целевого продукта, оптимального времени пребывания реакционной смеси в аппарате и т.п.). Критерий оптимальности называется сложным, если необходимо установить экстремум целевой функции при некоторых условиях, которые накладываются на ряд других величин (например, определение максимальной производительности при заданной себестоимости, определение оптимальной температуры при ограничениях по термостойкости катализатора и др.).

Читать еще:  Оптимизация системной памяти

Процедура решения задачи оптимизации обязательно включает, помимо выбора управляющих параметров, еще и установление ограничений на эти параметры (термостойкость, взрывобезопасность, мощность перекачивающих устройств). Ограничения могут накладываться как по технологическим, так и по экономическим соображениям.

Итак, для решения задачи оптимизации необходимо:

а) составить математическую модель объекта оптимизации:

Y=f(X,U)

б) выбрать критерий оптимальности и составить целевую функцию:

R=φ(Y)=F(X,U)

Целевая функция – это то же самое, что критерий оптимальности, но это критерий, рассматриваемый как функция входных факторов.

в) установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные:

Введение

Оптимизация — целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Поиски оптимальных решений привели к созданию специальных математических методов и уже в 18 веке были заложены математические основы оптимизации (вариационное исчисление, численные методы). Однако до второй половины 20 века методы оптимизации во многих областях науки и техники применялись очень редко, поскольку практическое использование математических методов оптимизации требовало огромной вычислительной работы, которую без ЭВМ реализовать было крайне трудно, а в ряде случаев — невозможно. Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например:

количество продукции — расход сырья

количество продукции — качество продукции

Выбор компромиссного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения оптимизационной задачи.

Постановка задачи оптимизации

При постановке задачи оптимизации необходимо учесть:

  • 1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого.
  • 2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта.
  • 3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.
  • 4. Учет ограничений.

Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, цех, завод). Оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой — критерием оптимальности. Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

В зависимости от своей постановки, любая из задач оптимизации может решаться различными методами, и наоборот — любой метод может применяться для решения многих задач. Методы оптимизации могут быть скалярными (оптимизация проводится по одному критерию), векторными (оптимизация проводится по многим критериям), поисковыми (включают методы регулярного и методы случайного поиска), аналитическими (методы дифференциального исчисления, методы вариационного исчисления.), вычислительными (основаны на математическом программировании, которое может быть линейным, нелинейным, дискретным, динамическим, стохастическим, эвристическим), теоретико-вероятностными, теоретико-игровыми. Подвергаться оптимизации могут задачи, как с ограничениями, так и без них.

Линейное программирование — один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» — составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и в нашей литературе стали общепринятыми.

Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр.

Задачами линейного программирования называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств. Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

рационального использования сырья и материалов;

задачи оптимизации раскроя;

оптимизации производственной программы предприятий;

оптимального размещения и концентрации производства;

составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;

управления производственными запасами;

и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Современные методы линейного программирования достаточно надежно решают задачи общего вида с несколькими тысячами ограничений и десятками тысяч переменных. Для решения сверхбольших задач используются уже, как правило, специализированные методы.

В работе используются методы линейного программирования для решения производственной задачи

число ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции

Постановка задачи оптимизации

Несмотря на различные содержательные постановки задачи, структура оптимизационной задачи однотипна и содержит следующие компоненты.

Читать еще:  Виды оптимизационных задач

1. Целевая функция / (х) и-мерного векторного аргумента

  • 2. Ограничения в виде неравенств g (х) > О.
  • 3. Ограничения в виде равенств hk(x) = 0.
  • 4. Область допустимых значений хе D с R».

Задача оптимизации в общем виде:

ограничения II рода gy(x) S 0, j = 1, J;

Классификация задач оптимизации

В зависимости от вида целевой функции и соотношения ограничений выделяют различные задачи оптимизации, классификация которых приведена на рис. 1.3.

Существует несколько признаков классификации. Основные критерии следующие:

1. По типу параметров задачи оптимизации. Различают непрерывные задачи оптимизации (continues optimization), дискретные (discrete) и целочисленные (integer optimization).

Рис. 1.3. Классификация задач оптимизации

  • 2. По критерию размерности допустимого множества параметров D. Задачи оптимизации по этому критерию делятся на задачи одномерной и многомерной оптимизации.
  • 3. По критерию наличия или отсутствия ограничений на допустимое множество D. Различают задачи условной (constrained) и безусловной (unconstrained) оптимизации. Этот признак классификации имеет место как для одномерных, так и для многомерных задач оптимизации.
  • 4. По характеру ограничений. Различают детерминированную оптимизацию и стохастическую. Если множество допустимых значений включает случайные компоненты, то имеет место стохастическое программирование. При этом стохастическая оптимизация может относиться и к дискретной задаче.
  • 5. По виду целевой функции и виду ограничений. Различают линейное и нелинейное программирование.

Задача линейного программирования содержит линейную целевую функцию, ограничения в задаче также линейны.

При нарушении линейности целевой функции или ограничений имеет место нелинейная задача оптимизации. Классификация задач нелинейного программирования в основном определена видом целевой функции и приведена на рис. 1.4.

Ниже представлены постановки основных задач оптимизации в соответствии с рис. 1.3.

Задача одномерной безусловной оптимизации

Ограничения отсутствуют, К = J = 0, D = R’, т. е. задача без ограничений с одномерным вектором. Вид f(x) произвольный.

Задача многомерной безусловной оптимизации

Ограничений нет, K = J = О, D = R», хе[-оо,оо]./(х) — любого вида.

Задача условной многомерной оптимизации

Задача линейного программирования

Целевая функция — линейна, ограничения тоже линейны.

Наиболее известные классические задачи линейного программирования: транспортная задача, задача о диете и другие.

целочисленного программирования

В задачах целочисленного программирования компоненты вектора <х>принимают только целые значения. Известны классические задачи целочисленного программирования: задача о коммивояжере, раскраски графов, теории расписания.

Задача нелинейного программирования

Особо развито выпуклое и квадратичное программирование. Приведенная классификация сделана по виду нелинейности целевой функции, при этом предполагалось, что ограничения ф<х) — линейны.

Рис. 1.4. Классификация задач нелинейного программирования

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Постановка — оптимизационная задача

Постановка оптимизационной задачи о расчете технологического процесса состоит в определении режима работы оборудования и значений параметров, характеризующих ход процесса, при которых критерий оптимальности имеет экстремальное значение. Наиболее универсальными, но не единственными являются экономические критерии, в частности, приведенные затраты на единицу продукции. Выбор критерия оптимальности, как правило, сложная задача, при решении которой следует всесторонне учитывать различные практические аспекты. [1]

Основной постановкой отраслевых оптимизационных задач является постановка на минимум затрат ( текущих и единовременных), необходимых для производства и использования продукции отрасли при условии удовлетворения потребности в ней в заданной номенклатуре и ассортименте. Постановка на минимум затрат заключается в том, чтобы при заданной потребности народного хозяйства в продукции отрасли и множестве допустимых вариантов плана производства найти такой план, который обеспечивал бы удовлетворение потребности в плановом периоде при минимальных суммарных затратах на развитие мощности производства и перевозку продукции. [2]

Формулируются постановки оптимизационных задач метрологического обслуживания изделий и средств измерений. Рассмотрены принципы и методология синтеза оптимальной СМОЭ изделий. Приводятся и анализируются две группы методов определения допускаемых погрешностей средств измерений. Предлагаются методика учета и частичной компенсации погрешностей метрологического обслуживания средств измерений и методика расчета технико-экономического эффекта от внедрения метрологических мероприятий в эксплуатацию сложных изделий. [3]

Сформулируйте постановку оптимизационной задачи для случая принятия единичного решения, предполагая, что сгоревший лес не имеет стоимости и что лесной пожар не может уничтожить спиленные деревья. [4]

При постановке оптимизационных задач все указанные виды ограничений сводятся к соотношениям типа неравенств или равенств, отражающих характер математических взаимосвязей протекания технологических процессов, и могут иметь как алгебраический, так и дифференциальный или интегральный вид. Формулировка этих соотношений осуществляется на основании математических моделей тепломдс-сопереноса, напряженного состояния, гидродинамического взаимодействия, физико-химических явлений, а также логических и эмпирических соотношений количественного типа. Основная цель формулировки ограничений — обеспечение реализуемости технологических процессов и гарантии — безопасности, а они, в свою очередь, сужают область поиска оптимальных вариантов, накладывая специфические требования на методы решения задач и качество получаемых решений. [5]

При постановке оптимизационных задач на ЭВМ существенное значение имеет этап, связанный с выбором метода оптимизации. [6]

Таким образом, постановка оптимизационных задач подразумевает: формулирование целей н выбор показателен эффективности ( критериев оптимизации); наличие свободы выбора управляющих воздействий; определение ограничений, обеспечивающих физическую реализуемость и практическую целесообразность принимаемых решений. [7]

Рассмотрим следующий пример постановки оптимизационной задачи . [8]

Во-первых, при постановке оптимизационных задач часто указывается исходное множество альтернативных вариантов решений. Из этого множества решений и выбирается оптимальное. Это исходное множество решений называется пространством решений. [9]

Прежде чем характеризовать специфику постановок оптимизационных задач динамики ТСВ , сделаем несколько общих замечаний относительно современных подходов к оптимизации ТСВ, особо акцентируя внимание на тех аспектах и противоречиях, которые усиливаются в динамических постановках. [10]

Читать еще:  Как создать папку linux

Таким образом, выше приведена постановка оптимизационной задачи , выбрана целевая функция, описан набор параметров и ограничений, что в совокупности образует математическую модель, а с учетом специфики-задачи — экономико-математическую модель. Из изложенного следует, что поставленная задача относится к задачам нелинейного дискретного программирования с разрывной целевой функцией и ограничениями, заданными в виде равенств, неравенств и алгоритмов. В каждом случае решения задачи для одних исходных данных число рассматриваемых вариантов ( определяемое по количеству сочетаний независимых переменных) не превысит 50, что для машинного счета представляется допустимым. [11]

Одна из основных практических трудностей постановки оптимизационных задач БТС состоит в том, что мероприятия по оптимизации облика и распределения ресурсов рссчитаны на не всегда определенный но всегда длительный период времени. [12]

Данный раздел содержит основные сведения по постановке оптимизационных задач , методах их решения, основных элементах и методологии разработки автоматизированных систем управления в бурении. [13]

Знание об объемах сожженного топлива и выбросов вредных веществ автомобильным парком важно при постановке оптимизационных задач , связанных с формированием долгосрочной технической политики развития транспортной системы, — прогнозной численности и структуры автомобильного парка. [14]

В действительности же векторный подход противоречит не принципу оптимальности, а только тем постановкам экономических оптимизационных задач , которые в силах решать математический аппарат, рассчитанный на нахождение экстремального значения одного критерия. По справедливому замечанию академика С. Г. Струмилина, математика прекрасно решает экстремальные задачи на минимум и максимум. Но кроме этих крайних понятий бесспорного значения, существует еще одно, менее определенное, но гораздо более важное в применении к задачам социально-экономического назначения. Лучше обогащать математику решением новых для нее задач, чем обеднять экономику, упрощая эти задачи применительно к наличию ресурса математики [ 22, с. [15]

Общая постановка задачи оптимизации интеллектуальных информационных систем

Оптимизация – целенаправленная деятельность, заключающаяся в получении наилучших результатов при соответствующих условиях.

Постановка задачи оптимизации предполагает существование конкурирующих свойств процесса, например: количество продукции – расход сырья, количество продукции – качество продукции. Выбор компромиссного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения оптимизационной задачи.

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы – управляющими воздействиями.

3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

4. Учет ограничений.

Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, цех, завод). Оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой – критерием оптимальности.

Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта.

На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции.

Наиболее общей постановкой оптимальной задачи является выражение критерия оптимальности в виде экономической оценки (производительность, себестоимость продукции, прибыль, рентабельность). Однако в частных задачах оптимизации, когда объект является частью технологического процесса, не всегда удается или не всегда целесообразно выделять прямой экономический показатель, который бы полностью характеризовал эффективность работы рассматриваемого объекта. В таких случаях критерием оптимальности может служить технологическая характеристика, косвенно оценивающая экономичность работы агрегата (время контакта, выход продукта, степень превращения, температура).

Критерий оптимальности должен иметь ясный физический смысл, отражать наиболее существенные стороны процесса, должен иметь количественную оценку. В том случае, когда случайные возмущения невелики и их воздействие на объект можно не учитывать, критерий оптимальности может быть представлен как функция входных, выходных и управляющих параметров: R = R(X1, X2, . XN, Y1, Y2, . YN, U1, U2, . UN). Так как Y = f(U), то при фиксированных Х можно записать: R = R(U1, U2, . UN). При этом всякое изменение значений управляющих параметров двояко сказывается на величине R:

прямо, так как управляющие параметры непосредственно входят в выражение критерия оптимизации;

косвенно – через изменение выходных параметров процесса, которые зависят от управляющих.

В принципе, для оптимизации вместо математической модели можно использовать и сам объект, однако оптимизация опытным путем имеет ряд существенных недостатков:

— необходим реальный объект;

— необходимо изменять технологический режим в значительных пределах, что не всегда возможно;

— длительность испытаний и сложность обработки данных; наличие математической модели (при условии, что она достаточно надежно описывает процесс) позволяет значительно проще решить задачу оптимизации аналитическим либо численным методами.

Итак, для решения задачи оптимизации необходимо:

— составить математическую модель объекта оптимизации;

— выбрать критерий оптимальности и составить целевую функцию;

— установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные;

— выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальные значения искомых величин.

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector