Green-sell.info

Новые технологии
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Оптимизация в условиях неопределенности

Оптимизация решения в условиях неопределенности

Мы рассмотрели самый простой, полностью детерминированный случай, когда все условия операции a1,a2. известны, и любой выбор решения x1,x2. приводит к вполне определенному значению показателя эффективности W.

К сожалению, этот простейший случай не так уж часто встречается на практике. Гораздо более типичен случай, когда часть условий, при которых проводится операция, известны заранее, а некоторые из них содержат элемент неопределенности.
Например, успех операции может зависеть от метеорологических условий, которые заранее неизвестны, или от колебаний спроса и предложения, заранее трудно предвидимых, связанных с капризами моды, или поведением разумного противника, действия которого заранее неизвестны.

В подобных случаях эффективность операции зависит уже не от двух, а от трех категорий факторов:

  1. Условия выполнения операции a1,a2. , которые известны заранее и изменены быть не могут
  2. Неизвестные, условия или факторы Y1,Y2.
  3. Элементы решения x1,x2. , которые нам предстоит выбрать.

Пусть эффективность операции характеризуется некоторым показателем W, зависящим от всех трех групп факторов. W=W(a1,a2. ;Y1,Y2. ;x1,x2. ). Если бы условия Y1,Y2. были известны, мы могли бы заранее подсчитать показатель W и выбрать такое решение x1,x2. при котором он достигает экстремума. Однако параметры Y1,Y2. нам неизвестны, а значит, неизвестен и зависящий от них показатель эффективности W при любом решении.
В этом случае задача формулируется следующим образом:
При заданных условиях a1,a2. с учетом неизвестных факторов Y1, Y2, . найти такие элементы решения х1, х2, . при которых по возможности показатель эффективности W достигает своего экстремального значения. Это-уже другая, не чисто математическая задача (недаром в ее формулировке сделана оговорка «по возможности»). Наличие неизвестных факторов Y1, Y2, . переводит нашу задачу в другую категорию. Она превращается в задачу о выборе решения в условиях неопределенности.
Если условия выполнения операции неизвестны, то мы не можем успешно организовать ее решение, как мы это сделали бы, при большей информацией. Поэтому любое решение, принятое в условиях неопределенности, хуже решения, принятого при определенной ситуации. Наша задача состоит в том, чтобы придать ему черты разумности.
Решение, принятое в условиях неопределенности, но на основе математических расчетов, будет все же лучше решения, выбранного наобум.
Недаром один из видных зарубежных специалистов — Т. Л. Саати в книге «Математические методы исследования операций» дает своему предмету следующее определение: «Исследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы другими методами».

Задачи о выборе решения в условиях неопределенности встречаются нам в жизни на каждом шагу. Пусть, например, мы собрались ехать в отпуск, взяв с собой чемодан ограниченного объема, причем вес чемодана не должен превышать того, при котором мы можем носить его без посторонней помощи (условия a1,a2. ). Погода в районе путешествия заранее неизвестна (условия Y1,Y2. ). Спрашивается, какие предметы одежды (х1,х2. ) следует взять с собой?

Эту задачу мы, разумеется, решаем без всякого математического аппарата, хотя, по-видимому, не без опоры на какие-то численные данные (хотя бы на вероятности морозной или дождливой погоды в районах путешествия в данное время года).
Однако, если нужно принять более серьезное и ответственное решение (например, о характеристиках проектируемой плотины в районе возможных паводков, или о выборе типа посадочного устройства для посадки на планету с неизвестными свойствами поверхности, или о выборе образца вооружения для борьбы с противником, характеристики которого заранее неизвестны), то выбору решения в обязательном порядке должны предшествовать математические расчеты, облегчающие этот выбор и сообщающие ему черты разумности.

Применяемые при этом методы существенно зависят от того, какова природа неизвестных факторов Y1, Y2, . и какими ориентировочными сведениями о них мы располагаем.

Наиболее простым и благоприятным для расчетов является случаи, когда неизвестные факторы Y1, Y2, . представляют собой случайные величины (или же случайные функции), для которых имеются статистические данные, характеризующие их распределение.

Пусть, например, мы рассматриваем работу железнодорожной сортировочной станции, стремясь оптимизировать процесс обслуживания прибывающих на эту станцию грузовых поездов. Заранее неизвестны ни точные моменты прибытия поездов, ни количество вагонов в каждом поезде, ни адреса, по которым направляются вагоны. Все эти характеристики представляют собой случайные величины, закон распределения каждой из которых (и их совокупности) может быть определен по имеющимся данным обычными методами математической статистики. В случае, когда неизвестные факторы, фигурирующие в операции — Y1, Y2, . -являются обычными случайными величинами (или случайными функциями), распределение которых, хотя бы ориентировочно, известно, для оптимизации решения может быть применен один из двух приемов:

  1. Искусственное сведение к детерминированной схеме
  2. «Оптимизация в среднем».

Остановимся более подробно на каждом из этих приемов:
Первый прием сводится к тому, что неопределенная, вероятностная картина явления приближенно заменяется детерминированной.
Для этого все участвующие в задаче случайные факторы Y1,Y2. приближенно заменяются не случайными (как правило, их математическими ожиданиями).
Этот прием применяется по преимуществу в грубых, ориентировочных расчетах, когда диапазон случайных изменений величин Y1,Y2. сравнительно мал, т.е. они без большой натяжки могут рассматриваться как не случайные.
Заметим, что тот же прием замены случайных величин их математическими ожиданиями может успешно применяться и в случаях, когда величины Y1,Y2. обладают большим разбросом, но показатель эффективности W зависит от них линейно (или почти линейно).

Bторой прием («оптимизация в среднем»), более сложный, применяется, когда случайные величины Y1,Y2. имеют большую дисперсию и замена каждой из них ее математическим ожиданием может привести к большим ошибкам.
Рассмотрим этот случай более подробно. Пусть показатель эффективности W существенно зависит от случайных факторов (будем для простоты считать их случайными величинами) Y1,Y2. ; допустим, что нам известна, например, плотность вероятности f(y1,y2. ).
Предположим, что операция выполняется много раз, причем условия Y1,Y2. меняются от раза к разу случайным образом. Какое решение х1,х2. следует выбрать? Очевидно, то, при котором операция в среднем будет наиболее эффективна, т. е. математическое ожидание показателя эффективности W будет максимально. Таким образом, нужно выбирать такое решение х1,х2. , при котором обращается в максимум математическое ожидание показателя эффективности:
Такую оптимизацию мы будем называть «оптимизацией в среднем».

А как же с элементом неопределенности? Конечно, в какой-то мере он сохраняется. Успешность каждой отдельной операции, осуществляемой при случайных, заранее неизвестных значениях Y1,Y2. может сильно отличаться от ожидаемой средней, как в большую, так и в меньшую сторону.
При многократном осуществлении операции эти различия, в среднем, сглаживаются; однако, нередко данный способ оптимизации решения, за неимением лучшего, применяется и тогда, когда операция осуществляется всего несколько раз или даже один раз. Тогда надо считаться с возможностью неприятных неожиданностей в каждом отдельном случае, однако «оптимизация в среднем» все же лучше, чем выбор решения без всяких обоснований.
Применяя этот прием к многочисленным (хотя бы и различным) операциям, мы в среднем выигрываем больше, чем если бы совсем не пользовались расчетом.

Для того, чтобы составить себе представление о том, чем мы рискуем в каждом отдельном случае, желательно, кроме математического ожидания показателя эффективности, оценивать также и его дисперсию (или среднее квадратическое отклонение).

Наиболее трудным для исследования является тот случай неопределенности, когда неизвестные факторы Y1,Y2. не могут быть изучены и описаны с помощью статистических методов: их законы распределения или не могут быть получены (соответствующие статистические данные отсутствуют), или, что ещё хуже, таких законов распределения вовсе не существует.
Это бывает, когда явление, о котором идёт речь, не обладает свойством статистической устойчивости. Рассмотрим пример. Предположим, что эффективность проектируемого вооружения сильно зависит от того, будет ли предполагаемый противник к моменту начала боевых действий располагать средствами защиты, и если да, то какими именно? Очевидно, нет никакой возможности подсчитать вероятности этих гипотез-самое большее, их можно назначить произвольно, что сильно повредит объективности исследования.

Читать еще:  Оптимизация по 99

В подобных случаях, вместо произвольного и субъективного назначения вероятностей с дальнейшей «оптимизацией в среднем», рекомендуется рассмотреть весь диапазон возможных условий Y1,Y2. и составить представление о том, какова эффективность операции в этом диапазоне и как на нее влияют неизвестные условия. При этом задача исследования операций приобретает новые методологические особенности.

Действительно, рассмотрим случай, когда эффективность операции W зависит, помимо заданных условий a1,a2. и элементов решения х1,х2. еще и от ряда неизвестных факторов Y1,Y2. нестатистической природы, о которых никаких определенных сведений нет, а можно делать только предположения.
Зафиксируем мысленно параметры Y1,Y2. придадим им вполне определенные значения Y1=y1,Y2=y2. и переведем тем самым в категорию заданных условий a1,a2. Для этих условий мы в принципе можем решить задачу исследования операций и найти соответствующее оптимальное решение х1,х2.
Его элементы, кроме заданных условий a1,a2. очевидно, будут зависеть еще и от того, какие частные значения мы придали условиям Y1,Y2.
Такое решение, оптимальное для данной совокупности условий Y1,Y2. (и только для нее), называется локально-оптимальным. Это решение, как правило, уже не оптимально для других значений Y1,Y2. Совокупность локально-оптимальных решений для всего диапазона условий Y1,Y2. дает нам представление о том, как мы должны были бы поступать, если бы неизвестные условия Y1,Y2. были нам в точности известны.

Поэтому локально-оптимальное решение, на получение которого зачастую тратится много усилий, имеет в случае неопределенности сугубо ограниченную ценность. Совершенно очевидно, что в данном случае следует предпочесть не решение, строго оптимальное для каких-то определенных условий, а компромиссное решение, которое, не будучи, может быть, строго оптимальным ни для каких условий, оказывается приемлемым в целом диапазоне условий.

Рассмотрим теперь случай, возникающий в так называемых конфликтных ситуациях, когда неизвестные параметры Y1,Y2. зависят не от объективных обстоятельств, а от активно противодействующего нам противника. Такие ситуации характерны для боевых действий, отчасти для спортивных соревнований, для конкурентной борьбы и т.д.

При выборе решении в подобных случаях может оказаться полезным математический аппарат так называемой теории игр-математической теории конфликтных ситуаций. Модели конфликтных ситуаций, изучаемые в теории игр, основаны на предположении, что мы имеем дело с разумным и дальновидным противником, всегда выбирающим свое поведение наихудшим для нас (и наилучшим для себя) способом.
Такая идеализация конфликтной ситуации в некоторых случаях может подсказать нам наименее рискованное, «перестраховочное» решение, которое необязательно принимать, но во всяком случае полезно иметь в виду.

Замечание:

Поэтому неразумно предъявлять к точности таких решений слишком высокие требования. Вместо того, чтобы после скрупулезных расчетов однозначно указать одно-единственное оптимальное (в каком-то смысле) решение, лучше всегда выделить область приемлемых решений, которые оказываются несущественно хуже относительно оптимального, какой бы точкой зрения мы ни пользовались. В пределах этой области могут произвести свой окончательный выбор ответственные за него лица.

«Задачи оптимизации в условиях неопределенности»

V Международный дистанционный конкурс «Старт»

Низкий оргвзнос 30р

Идёт приём заявок

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Наградные и подарки

Задачи оптимизации в условиях неопределенности

Намечается крупномасштабное производство легковых автомобилей. Имеется четыре варианта проекта автомобиля R j . Определена экономическая эффективность каждого проекта в зависимости от рентабельности производства. По истечении трех сроков S i рассматриваются как некоторые состояния среды.

Необходимо выбрать оптимальную стратегию. Исходные данные для расчета.

Таблица1 — Исходная матрица

В данном случае задача определена на прибыль;

Решим задачу по критерию Лапласа.

По критерию Лапласа в качестве оценки альтернативы используется средний выигрыш:

(1)

Использование критерия Лапласа будет выглядеть следующим образом:

Найти среднее арифметическое значение исходов по каждому

проекту. Оно является оценкой альтернативы по критерию Лапласа :

Сравнить рассчитанные величины и найти альтернативу

с максимальным значением критерия (если задача определена на прибыль) или с минимальным значением (если задача определена на затраты).

Таблица 2 – Матрица решений по критерию Лапласа

(4)

(5)

(6)

(7)

По критерию Лапласа оптимальным является проект №1, у которого наибольшее значение экономической эффективности составляет 20.

Критерий Вальда – один из критериев принятия решений в условиях неопределенности.

По критерию Вальда лица, принимающие решения, выбирают стратегию, гарантирующую максимальное значение наихудшего выигрыша (критерия максимина) для задачи прибыльности.

В соответствии с этим критерием из альтернатив a j выбирают ту, которая при самом неблагоприятном состоянии внешней среды, имеет наименьшее значение показателя. С этой целью в каждой строчке матрицы фиксируют альтернативы с максимальным значением показателя и из отмеченных максимальных выбирают минимальное (для задачи прибыльности).

(8)

В данной задаче результат представляет полезность (экономическую эффективность), тогда при выборе оптимального варианта используется максиминный критерий.

(9)

Таблица 3- Матрица решений по критерию Вальда

Оптимизация и принятие решений в условиях многокритериальности и неопределенности

До сих пор, говоря об оптимизации, мы предполагали, что имеется один критерий оптимизации. В реальных задачах оптимизации процессов УВД чаще требуется учесть сразу несколько критериев, т.е. найти решение, кото- рое было бы лучшим с разных точек зрения. Например, при совершенствова- нии функционирования авиатранспортной системы часто говорят, что нужно сразу улучшить безопасность, экономичность, регулярность полетов. Слож- ность заключается в том, что реально эти критерии достаточно противоречи- вы, т.е. улучшая решение по одному критерию, приходится поступаться дру- гим. Так, если попытаться составить и решить задачу оптимизации воздуш- ных потоков в зональном центре ЕС ОрВД по критерию только безопасности полетов, можно получить решение, смысл которого может быть выражен следующим образом: оптимальным с точки зрения безопасности полетов бу- дет поток воздушного движения, интенсивность которого равна нулю. Ко- нечно, заказчик оптимизации вправе решать, руководствоваться ему этим ре- зультатом или нет, мы же предполагаем, что нулевая интенсивность в данном случае не является тем, что ожидалось при планировании воздушного дви- жения (здесь как раз и проявляется значимость семантического анализа ре- зультатов оптимизации).

Выводом данного примера должно стать следующее: при составлении за- дачи оптимизации в модели необходимо, по возможности, учитывать те кри- терии, которые наиболее полно позволяют реализовать все цели заказчика оптимизации. Запишем общую формулировку задачи оптимизации с М

Эту задачу целесообразно сравнить с задачей математического програм- мирования с одним критерием. Здесь Н есть целевая функция задачи опти- мизации, аргументы которой уже не параметры, а критерии, и каждый из них сам есть функция от X, т.е. Ir = fr(Xr). Видно также, что в задаче могут присутствовать уже известные нам функции-ограничения gj(X). Кроме это- го, появляются новые ограничения, которые называются критериальными Ir = fr(Xr) ≤ (≥, =) Br. Эти ограничения могут быть нестрогими, выражать лишь пожелания заказчика (например, ограничением может быть желаемый уровень экономичности маршрута ВС). Если же в процессе оптимизации ока- зывается, что эти ограничения так сужают область возможных решений, что реально приемлемых там не остается, то они могут быть ослаблены.

Целевая функция Н по сути есть функция, указывающая, каким образом получить компромиссное решение, которое бы удовлетворяло сразу всем критериям. Наличие такой функции позволяет из частных критериев полу- чить составной, обобщенный критерий, отражающий глобальные интересы (цели) оптимизации. На практике в задаче не всегда можно формализовать все ее элементы, т.е. не всегда удается (или нецелесообразно) определить компоненты вектора X и выявить математические зависимости критериев от них, не всегда удается определить вид функции Н, устанавливающей ком- промисс между частными критериями. Иначе говоря, возможны различные уровни формализации задачи, в зависимости от чего условно можно выде- лить следующие виды задач оптимизации с многими критериями.

1. Задача оптимизации, в которой известна функция Н, позволяющая све- сти задачу с несколькими критериями к задаче оптимизации с одним крите- рием; область допустимых решений может быть задана в виде математиче-

Читать еще:  Android оптимизация приложений

ских выражений. Эта задача может быть решена уже рассмотренными мето-

дами или их модификациями как задача однокритериальной оптимизации.

2. Задача оптимизации, в которой неизвестна функция Н, т.е. известны лишь требования об оптимизации частных критериев и неизвестны отноше- ния между критериями, область допустимых решений может быть задана как в виде аналитических зависимостей, так и в виде описания, возможно нефор- мального, некоторых условий допустимости решений. Это задача векторной оптимизации. Она решается с привлечением человека – лица, принимающего решение (ЛПР), и в процессе решения используются методы, позволяющие человеку с учетом его собственного опыта и предпочтений сначала опреде- лить среди допустимых подмножество эффективных решений, а потом – вы- брать то решение, которое, по его мнению, является наилучшим (при нали- чии объективной информации о взаимосвязях элементов задачи определение подмножества эффективных решений может осуществляться без привлече- ния ЛПР методами прикладной математики).

3. Задача принятия решений, в которой, как правило, неизвестны математи- ческие зависимости, область допустимых решений задается явным образом – перечислением вариантов выбора (альтернатив). Эти альтернативы опреде- ляются и характеризуются экспертами. Считается, что критерии, позволяю- щие оценить полезность альтернатив, являются субъективными и устанавли- ваются ЛПР. Выбор лучшей альтернативы является также субъективным, т.е. осуществляется ЛПР на основе собственных предпочтений и целей. Сами за- дачи принятия решения подразделяются по многим признакам, в частности, это могут быть задачи принятия решений в уникальных или уже в известных ситуациях, задачи принятия организационных или оперативных решений, за- дачи принятия решений в условиях определенности и в условиях неопреде- ленности и т.п. Методы теории принятия решений предназначены для того, чтобы помочь ЛПР осуществить обоснованный выбор наилучшего решения.

Рассмотрим некоторые способы устранения многокритериальности. Важ- ность этого вопроса обусловлена тем, что такие способы в той или иной мере используются во всех трех видах задач, в первом – для сведения задачи оп- тимизации с многими критериями к задаче оптимизации по одному крите- рию; во втором и третьем – для осуществления окончательного выбора. Кро-

ме того, практически при принятии решений, особенно при планировании и организации УВД, варианты оцениваются по нескольким частным критери- ям, а реальное оценивание их полезности с точки зрения глобальных интере- сов оптимизации производится с использованием различных способов устра- нения многокритериальности, т.е. способов агрегирования оценок по част- ным критериям. (Здесь целесообразно отметить, что рассматриваемые спосо- бы есть пример использования принципа агрегирования – одного из основ- ных принципов при исследовании и оптимизации процессов УВД. Среди способов разрешения проблемы многокритериальности можно отметить сле- дующие:

1. Перевод всех критериев кроме одного в ранг ограничений. Этот способ часто используется в задачах, которые в силу своей формализуемости, целе- сообразно свести к задаче с одним критерием. При этом выбирается один из критериев, для которого добиваются наилучшего значения, а на значения других накладываются ограничения или строгие, или рекомендуемые (например, повышение экономичности траекторий движения ВС при строгом ограничении уровня безопасности).

2. Упорядочение критериев по важности и последовательная оптимиза- ция. Этот способ также используется для решения задач вида 1 и определе- ния множества эффективных решений в задачах векторной оптимизации. Сначала проводится оптимизация по наиболее важному критерию. Найден- ное значение становится ограничением. Потом проводится оптимизация по следующему критерию и т.д. В итоге остается задача оптимизации по одному критерию с областью допустимых решений, включающей в себя решения, оптимальные (точнее — рациональные) по предыдущим критериям.

3. Введение составного критерия. Этот способ в основном используется при выборе альтернатив из множества решений в задачах векторной оптими- зации и принятия решений. Например, используются следующие составные критерии:

критерий аддитивный

где аr – коэффициент важности r-го критерия.

Значение аr принимается от 0 до 1, сумма всех коэффициентов равна 1. Этот критерий используется как при решении задач с помощью многокрите- риального симплекс-метода, так и при выборе из множества альтернатив в других задачах.

Значение составного критерия вычисляется выражением, записанным в квадратных скобках. Запись «max» означает, что в результате введения со- ставного критерия выбирается та альтернатива, для которой значение состав- ного критерия наибольшее по сравнению с другими;

составной критерий Вальда

выбирается та альтернатива, для которой наихудшая оценка по частным кри- териям Ir больше, чем наихудшие оценки по частным критериям у других альтернатив;

составной критерий наилучшей оценки

выбирается та альтернатива, для которой наилучшая оценка по частным кри-

териям Ir самая большая среди других альтернатив;

составной критерий Гурвица

этот критерий нечто среднее между предыдущими двумя, т.к. здесь а  [0; 1] и если а = 1, то критерий обращается в критерий Вальда, если а = 0 – в кри- терий наилучшего.

Могут быть использованы и другие составные критерии.

4. Постулирование некоторых принципов оптимальности решения, например, принцип равномерности достижения качества по всем критериям, справедливости уступок по всем критериям.

5. Выбор главного критерия, после чего оценки альтернатив по остальным критериям при выборе не учитываются.

Необходимо отметить, что в задачах принятия решений выбор любого из этих способов будет скорее всего субъективным, поскольку изначально ин- формация для поиска компромисса между критериями отсутствует. Все не- обходимые для применения способов данные (о коэффициентах значимости

критериев, упорядоченности по важности и т.п.) приобретаются при субъек-

тивном же анализе проблемы экспертами.

В задачах же принятия решений в уникальных ситуациях вообще невоз- можно определенно сказать как о полезности альтернатив, так и о возможных последствиях выбора. Эффективность решений в подобных условиях, эффек- тивность оперативных решений определяются прежде всего грамотностью, опытом, знанием закономерностей развития процессов того человека, кото- рый эти решения принимает – ЛПР.

Стохастический подход

На практике значения параметров изделий – геометрия, свойства материалов, нагрузки и пр. всегда содержат в себе некоторую неопределенность. Решение инженерных задач, содержащих неопределенности, требует стохастического подхода.

Преимущества стохастического подхода

Применение стохастического подхода в проектировании позволяет:

  • Изучить поведение изделия в условиях, приближенных к реальным
  • Уменьшить влияние неопределенностей
  • Повысить надежность и безопасность изделий
  • Проверить изделия на устойчивость к различным изменениям условий

Применение стохастических методов вручную — непростая задача, к тому же, в большинстве случаев этого бывает недостаточно. В pSeven имеется ряд инструментов для работы с неопределенностями и автоматического подбора надежных вариантов конструкции:

  • Оценка неопределенностей (Uncertainty Quantification, UQ)
  • Робастная оптимизация (Robust Design Optimization, RDO)
  • Оптимизация на основе анализа надежности (Reliability-Based Design Optimization, RBDO)

Оценка неопределенности (UQ)

Задача оценки влияния неопределенности параметров изделия — свойств материала, условий эксплуатации на технические и эксплуатационные характеристики возникает у специалистов самых разных отраслей. Оценка неопределенности (UQ) с помощью pSeven позволяет существенно улучшить качество разрабатываемых изделий, учесть возможные риски на этапах подготовки, производства и эксплуатации конструкций, а также гарантировать качество и надежность продукции.

Оценка неопределенности используется для того, чтобы оценивать модели с учетом всех возможных отклонений входных параметров и их влияния на выходные значения. Неопределенности входных параметров описываются при помощи распределений, основанных на экспериментальных данных, производственных ограничениях, практических наблюдениях или экспертной оценке. Важнее всего – задать критерии оценки модели, например, условия, при которых возникает неисправность. В результате оценки неопределенности пользователь получает распределение этих критериев, включая оценку среднего и дисперсии, что позволяет оценить надежность модели и сделать обоснованный выбор.

Распространение неопределенностей

Следующие возможности в pSeven позволяют эффективно измерять и работать с неопределенностями в переменных и откликах:

  • Ручной выбор типов распределения входных параметров
  • Автоматический подбор входных и выходных выборок для заданного типа распределения
  • Создание непараметрических распределений
  • Анализ чувствительности для оценки влияния неопределенностей на поведение изделия

Распределения переменных, содержащих неопределенности

УПРАВЛЕНИЕ ЗАТРАМИ И ИХ ОПТИМИЗАЦИЯ

Планирование затрат

Планирование затрат занимает важнейшее место в практической деятельности каждой строительной организации. Однако допускаемые при этом просчеты, снижают эффективность системы планирования. Все больше строительных организаций применяют неэкстраполятивное прогнозирование развития технологии, структурное экономическое прогнозирование, разрабатывают сценарии, направленные на выявление возможных изменений при дискретных отклонениях стратегического характера. Полученная информация позволяет принять упреждающие меры до наступления события. Однако, как показывает опыт, многие строительные организации не принимают во внимание такие прогнозы.

Читать еще:  Оптимизация проекта по времени

Таким образом, чтобы реализовать преимущества, создаваемые планированием затрат, необходимо не только совершенствование планирования, но и готовность руководителей учитывать долгосрочные прогнозы несмотря на их расплывчатость и неполноту.

На практике выбор оптимальной стратегии в процессе планирования затрат можно осуществить с помощью теории игр. Теория игр рассматривает задачи выбора оптимального поведения с учетом возможных действий других участников и случайных событий. Простейшей игровой ситуацией является такая, когда имеются два участника, преследующие противоположные интересы. Такая игра называется антагонистической. В антагонистических играх неопределенность для каждого игрока состоит в том, что заранее неизвестно, какую стратегию выберет в каждой партии его противник.

Оптимизация затрат в условиях неопределённости и риска

Принятие решений в условиях неопределенности носит название «игр с природой» и изучается теорией статистических решений. Под «природой» понимаются не только природно-климатические явления, но и комплекс неопределенностей, связанных с состоянием техники, настроением и здоровьем людей, т. е. не зависящих от лица, принимающего решения. Различные комбинации условий, которые могут встретиться при выполнении планируемого мероприятия, называются состояниями природы. Неопределенность ситуации заключается в том, что неизвестно, в каком из возможных состояний будет находиться «природа» в момент реализации управленческого решения.

Рассмотрим решение задачи выбора оптимальной стратегии на примере. Строительная организация заключила с заводом железобетонных изделий договор на ежедневную поставку раствора марки М150 на сумму 30 тыс. р. Если в течение дня раствор не поступает, организация несет убытки в размере 100 тыс. р. из-за простоя рабочих. Строительная организация может послать поставщику свой транспорт (дополнительные расходы — 4 тыс. р.), однако опыт показывает, что в 40 случаях из 100 транспорт возвращается ни с чем. Можно увеличить вероятность получения раствора до 80 %, если предварительно послать на завод своего представителя, однако это потребует дополнительных расходов в 4 тыс.р.

Можно заказать дневную норму раствора у другого, надежного поставщика по более высокой цене (до 50 %). Однако, кроме расходов на транспорт (4 тыс. р.), возможны дополнительные затраты в размере 8 тыс. р., связанные со сверхурочной работой бригад, реализующих лишний раствор, если в тот же день будет поставка завода ЖБИ. Какой стратегии следует придерживаться строительной организации, если заранее неизвестно, поступит или не поступит раствор завода ЖБИ?

Прежде всего, перечислим возможные стратегии поставщика. Их две: П1 — поставка своевременная, П2 — поставки нет. У строительной организации, согласно условию задачи, четыре стратегии: С1 — не принимать никаких дополнительных мер; С2 — послать к поставщику свой транспорт; С3 — послать к поставщику своего представителя и транспорт; С4 — заказать дополнительно раствор на другом заводе.

Возможны 8 ситуаций, описывающих все комбинации из четырех стратегий строительной организации и двух стратегий завода-поставщика (табл. 5).

Если в общем случае у первого игрока m возможных стратегий, а у второго — n, то всегда образуется m ґ n возможных ситуаций, каждой из которых соответствует определенный платеж одного игрока другому.

При большом количестве ситуаций удобнее использовать платежную матрицу. Для этого составляется прямоугольная матрица, имеющая m строк (по числу стратегий первого игрока) и n столбцов (по числу стратегий второго игрока). На пересечении i-й строки и j-го столбца ставится платеж второго игрока первому в ситуации, когда применены m-я стратегия первым игроком и n-я стратегия — вторым.

Таблица 5- Ситуации, описывающие все комбинации из четырех стратегий строительной организации и двух стратегий завода-поставщика

Если в данной ситуации выигрывает второй игрок, платеж будет иметь знак «минус». Расчетная матрица нашей игры размерностью 4ґ2 представлена в табл. 6. Все платежи имеют знак минус, так как обозначают в нашем примере затраты строительной организации.

Задача руководства — определить оптимальную стратегию, обеспечивающую минимум ожидаемых убытков в условиях неопределенности относительно поведения поставщика.

Выбор стратегии в условиях, описанных в табл. 6.2, зависит от надежности поставщика, выраженной количественно в терминах вероятности. Пусть, например, она равна 40 % (это означает, что своевременная поставка имеет место с вероятностью 0,4). Рассчитаем ожидаемые убытки (отрицательный выигрыш) при применении четырех стратегий:

Е1(0,4) = -30 Ч 0,4 — 100 Ч 0,6 = -72,

Е2(0,4) = -34 Ч 0,4 — 56 Ч 0,6 = -47,2,

Е3(0,4) = -38 Ч 0,4 — 52 Ч 0,6 = -46,4,

Е4(0,4) = -87 Ч 0,4 — 49 Ч 0,6 = -64,2.

Оптимальной будет стратегия С3, при которой организация несет минимальные расходы (-46,4 тыс. р.).

Таблица 6 — Расчетная матрица

Дадим геометрическую интерпретацию рассмотренной игры (рис. 10). Отложим по горизонтальной оси надежность поставщика, измеряемую вероятностями в диапазоне от 0 до 1, и обозначим ее Y1; Y2 = 1 — Y1 — ненадежность поставщика. Числа Y1 и Y2, равные в сумме единице, показывают, с какой вероятностью поставщики применяют чистые стратегии П1 и П2 в каждой партии. Совокупность стратегий П1 и П2 с вероятностями осуществления Y1 и Y2 называется смешанной стратегией. Точки Y1 = 0 и Y2 = 1 на рис. 6.3 соответствуют второй и первой чистым стратегиям поставщика, а все точки 0 0,685 — чистую стратегию П2.

Рис. 11 — Чистые стратегии поставщика

Итак, при антагонистической игре (когда каждый из игроков стремится нанести противнику максимальный ущерб) оптимальная стратегия строительной организации: X1 = X2 = 0, X3 = 0,685, X4 = 0,315; завода железобетонных изделий: Y1 = 0,112, Y2 = 0,888. При этом цена игры (ожидаемые оптимальные затраты строительной организации) равна — 53,3 тыс. р.

Игры против природы. Так как наша игра неантагонистическая, такое ее решение принципиально неверно, ибо лишает строительную организацию возможности снизить затраты по сравнению с оптимальными. Действительно, поставщик не стремится нанести строительной организации максимальный ущерб, поэтому его надежность может быть любой, совсем необязательно наихудшей с точки зрения строительной организации (как мы видели выше, наихудшая надежность поставщика равна 0,112).

Если, например, надежность поставщика равна 0,4, а строительная организация продолжает применять оптимальную для антагонистической игры смешанную стратегию, то ее ожидаемые затраты не снижаются. Действительно,

Е(0,4) = 0,685Е3(0,4) + 0,315 Е4(0,4) = 0,685(?46,4) + 0,315(?64,2) =

Чтобы снизить затраты при данной надежности поставщика, необходимо отказаться от оптимальной смешанной стратегии и, как мы обнаружили в предыдущем расчете, применять чистую третью стратегию. Затраты при этом снизятся до 46,4 тыс. р.

Таким образом, особенностью решения игр против природы в условиях определенности является то, что смешанная стратегия природы задана, т. е. известны все вероятности состояний Yj, j = 1, 2, . n; е Yj = 1. Это позволяет для каждой i-й чистой стратегии активного игрока рассчитать математическое ожидание его выигрыша против известной смешанной стратегии природы по формуле

Ei (Y1, . Yj, . Yn) = У aijYj , (6.7)

где aij — элемент платежной матрицы, расположенный на пересечении i-й строки и j-го столбца.

Максимальный элемент в рассчитанном столбце математических ожиданий выигрышей J = max Ei (Y1, . Yj, . Yn) определяет наивыгоднейшую стратегию активного игрока и численно равен максимально возможному выигрышу. Если максимальных элементов в этом столбце два и более, могут применяться соответствующие им стратегии как в чистом виде, так и в любом сочетании. Такой подход для решения игр против природы возможен, когда вероятности тех или иных состояний природы заданы. Чаще всего информация о таких вероятностях отсутствует. При этом для выбора оптимальной стратегии в качестве критерия можно применить максимум математического ожидания выигрыша (критерий Лапласа), но этот критерий может использоваться только для равномерного распределения вероятностей Yj = 1/n (табл. 8).

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector
×
×