Green-sell.info

Новые технологии
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Методы многокритериальной оптимизации

Тема 3.5. Многокритериальная оптимизация

Выбор критерия оптимизации. Система ограничений экономико-математической модели. Компромиссные методы векторной оптимизации. Парето – оптимальные решения.

В практической деятельности часто встречаются задачи, заключающиеся в поиске лучшего (оптимального) решения при наличии различных несводимых друг к другу критериев оптимальности. Например, принятие решения о строительстве дороги в объезд города должно учитывать такие факторы, как выигрыш города в целом по соображениям экологии, проигрыш отдельных предприятий и фирм, например, из-за уменьшения проезжающих через город потенциальных покупателей и многие другие. Если такого рода задачи решаются методами математического программирования, то говорят о задачахмногокритериальной оптимизации. Эти задачи могут носить как линейный, так и нелинейный характер. Поскольку методы решения таких задач излагаются ниже на примере линейных многокритериальных оптимизационных задач, это объясняет рассмотрение этой темы в данной главе учебного пособия.

Задачи многокритериальной оптимизации возникают в тех случаях, когда имеется несколько целей, которые не могут быть отражены одним критерием (например, стоимость и надежность). Требуется найти точку области допустимых решений, которая минимизирует или максимизирует все такие критерии. Если в подобного рода задачах речь идет не о разнородных критериях некоторой системы, а о сопоставлении однородных критериев разных ее подсистем (например, отрасли, группы населения и т.п.), то эти задачи называются задачами векторной оптимизации.

Обозначим 1-й частный критерий через , где — допустимое решение, а область допустимых решений — через Q. Если учесть, что изменением знака функции всегда можно свести задачу минимизации к задаче максимизации, то кратко задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать следующим образом:

(3.28)

(3.29)

Некоторые частные критерии могут противоречить друг другу, другие действуют в одном направлении, третьи — индифферентны, безразличны друг к другу. Поэтому процесс решения многокритериальных задач неизбежно связан с экспертными оценками как самих критериев, так и взаимоотношений между ними. Известен ряд методов решения задач многокритериальной оптимизации:

— оптимизация одного признанного наиболее важным критерия, остальные критерии при этом играют роль дополнительных ограничений;

— упорядочение заданного множества критериев и последовательная оптимизация по каждому из них (этот подход рассмотрен ниже на примере метода последовательных уступок;

— сведение многих критериев к одному введением экспертных весовых коэффициентов для каждого из критериев таким образом, что более важный критерий получает более высокий вес.

Возвращаясь к задаче многокритериальной оптимизации в общей постановке (3.28), (3.29), отмстим, что в идеальном случае можно вести поиск такого решения, которое принадлежит пересечению множеств оптимальных решений всех однокритериальных задач. Однако такое пересечение обычно оказывается пустым множеством, поэтому приходится рассматривать так называемое переговорное множество эффективных решений (оптимальных по Парето). Критерий оптимальности итальянского экономиста В. Парето применяется при решении таких задач, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, чтобы другие не ухудшались.

Определение 3.1. Вектор называется эффективным (оптимальным по Парето) решением задачи (3.28), (3.29), если не существует такого вектора , что

(3.30)

причем хотя бы для одного значения i имеет место строгое неравенство.

Множество допустимых решений, для которых невозможно одновременно улучшить все частные показатели эффективности (т.е. улучшить хотя бы один из них, не ухудшая остальных), принято называть областью Парето, или областью компромиссов, а принадлежащие ей решения — эффективными, или оптимальными по Парето.

В общем случае эффективные решения не эквивалентны друг другу, так что про два оптимальных по Парето решения нельзя сказать, какое из них лучше. Поэтому при решении многокритериальных задач необходимо дополнительное изучение эффективных решений. Для этого можно было бы сформулировать некоторый критерий и оптимизировать его на множестве эффективных решений. Однако при этом возникают значительные трудности в связи с тем, что, как правило, область компромиссов не является выпуклой, и полученная задача в общем случае будет задачей невыпуклого программирования. Обычный подход заключается в стремлении «свернуть» частные критерии в один обобщенный скалярный критерий, оптимизация которого приводит к оптимальному решению задачи в целом. Формулировка подходящего обобщенного критерия в зависимости от конкретных условий как раз и является основным вопросом, который изучается в многокритериальной оптимизации.

В некоторых случаях вместо одного обобщенного критерия и решения одной соответствующей задачи скалярной оптимизации предлагается рассматривать последовательность обобщенных критериев и последовательность задач скалярной оптимизации. К сожалению, многие из описанных в литературе подобных процедур не всегда приводят к эффективным решениям.

Рассмотрим один из таких методов решения многокритериальных задач — метод последовательных уступок.

Метод последовательных уступок решения задач многокритериальной оптимизации применяется в случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывания их важности. Предположим, что все частные критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания их важности. Находим максимальное значение , первого по важности критерия в области допустимых решений, путем решения однокритериальной задачи

Затем, исходя из практических соображений и принятой точности, назначается величина допустимого отклонения 8, > 0 (экономически оправданной уступки) критерия Z, и находится максимальное значение второго критерия Z’2 при условии, что значение первого критерия не должно отклоняться от своего максимального значения более чем на величину допустимой уступки, т.е. решается задача:

Снова назначается величина уступки δ2 > 0 по второму критерию, которая вместе с первой уступкой используется для нахождения условного максимума третьего частого критерия:

Аналогичные процедуры повторяются до тех пор, пока не будет выявлено максимальное значение последнего по важности критерия Zm при условии, что значение каждого из первых т — 1 частных критериев отличается от соответствующего условного максимума не более чем на величину допустимой уступки по данному критерию. Полученное на последнем этапе решение считается оптимальным. Следует заметить, что этот метод не всегда приводит к эффективному решению.

Пример 3.7. Решение задачи многокритериальной оптимизации методом последовательных уступок.

Решение. Пусть задача трехкритериальной оптимизации имеет вид

(3.31)

(3.32)

(3.33)

(3.34)

Заметим, что так как коэффициенты при одних и тех же переменных в данных частных критериях имеют разные знаки, то в заданной области допустимых решений невозможно одновременно улучшить все частные критерии, т.е. в рассматриваемом случае область компромиссов (область Парето) совпадает с областью допустимых решений (3.34).

Читать еще:  Многокритериальная векторная оптимизация

Для определенности будем считать, что допустимые уступки по первым двум критериям заданы: δ1 = 3; δ3 = 5/3.

Максимизируем функцию Z3 в области допустимых решений, т.е. решаем одну критериальную задачу (3.31), (3.34). Это несложно сделать рассмотренным в главе 2 графическим методом решения задач линейного программирования (рис. 3.3).

Максимум функции Z1 при условиях (3.34) достигается в точке А области Q с координатами (1; 4), так что в данном случае

Переходим к максимизации функции Z, при условиях (3.34) и дополнительном ограничении, позволяющем учесть, что по критерию Z, нельзя уступать более чем на δ1. Так как в нашем примере , то дополнительное ограничение будет иметь вид

(3.35)

Задачу (3.32), (3.34), (3.35) также решаем графически (рис. 3.4).

Получаем, что максимум функции Z2 при условиях (3.34), (3.35) достигается в точке В части Q, области Q, так что

Теперь уступаем по критерию Z2 на величину уступки 52= 5/3 и получаем второе дополнительное ограничение:

(3.36)

Максимизируем функцию Z3 при условиях (3.34), (3.35) и (3.36). Решение этой задачи представлено на рис 3.5.

Таким образом, получаем оптимальное решение рассматриваемой трехкритериальной задачи (точка С на рис. 3.5):

Соответствующие значения частных критериев при этом составляют:

Генетические алгоритмы многокритериальной оптимизации

Оптимизация по нескольким критериям требует применения специальных методов, которые существенно отличаются от стандартной техники, ориентированной на оптимизацию одной функции.

Без потери общности задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать следующим образом:

Здесь пространство поиска решений определяется следующим образом

В случае многокритериальной оптимизации иногда используется графическая интерпретация как пространстве поиска решений , так и пространстве критериев

где — вектор значений целевых функций. Другими словами является множеством образов в .

5.1. Концепция доминирования Парето

Следует отметить, что многокритериальные задачи принципиально отличаются от однокритериальных. В последнем случае мы пытаемся найти решение, которое лучше всех остальных решений. В случае многокритериальной оптимизации необязательно существует решение, которое является лучшим относительно всех критериев вследствие возможных конфликтов. Решение может быть лучшим относительно одного критерия и худшим относительно других критериев.

Поэтому при многокритериальной оптимизации выполняется поиск не одной особи, а множество хромосом, оптимальных в смысле Парето [1,2,3]. Обычно пользователь имеет возможность выбирать оптимальное решение из этого множества .

Для этих целей удобно классифицировать потенциальные решения многокритериальной проблемы на доминируемые и недоминируемые решения . Решение называется доминируемым, если существует решение , не хуже чем по всем критериям, то есть для всех оптимизируемых функций :

для всех при максимизации функции и

для всех при минимизации функции .

Если решение не доминируемо никаким другим решением, то оно называется недоминируемым или оптимальным в смысле Парето. Концепция Парето оптимальных решений представлена на рис.5.1, где в пространстве критериев квадратики соответствуют Парето оптимальным решениям, а ромбики – неоптимальным. При этом точка в пространстве поиска решений является действенной (эффективной), если и только если ее образ в является не доминируемым.

Присущие ГА свойства способствуют их эффективному применению при решении задач многокритериальной оптимизации , поскольку ГА основаны на использовании множества потенциальных решений — популяции и глобальном поиске в нескольких направлениях. Напомним, что ГА не предъявляют никаких требований к виду целевых функций и ограничениям.

Пусть и — родители и потомки текущей популяции . Тогда общая структура многокритериального ГА может быть представлена следующим образом:

Фактически ГА относится к методам мета-стратегии. При применении ГА для решения конкретной задачи необходимо выбрать или разработать основные компоненты, такие как метод кодирования потенциального решения, генетические операторы кроссинговера и мутации, метод отбора родителей, построить фитнесс-функцию, позволяющую оценивать потенциальные решения и т.д.

Поскольку многокритериальная оптимизация является естественным развитием обычной численной или комбинаторной оптимизации, то многие разработанные методы были распространены на этот более общий случай. При использовании ГА для многокритериальной оптимизации центральным вопросом является построение фитнесс-функции. За последние десятилетия, следуя [2], разработано несколько подходов, которые можно разделить на представленные ниже три поколения:

  • Поколение 1. Векторная оценка (vector evaluated -veGA) [5].
  • Поколение 2. Ранжирование по Парето + Разнообразие:Многокритериальный ГА (multiobjective GA — moGA) [6].
  • Поколение 3. Взвешенная сумма + Элитизм:Случайный взвешенный ГА (rwGA) [7]; Адаптивный взвешенный ГА (awGA)[8]; Недоминируемый ГА на основе сортировки (nsGA) [9]; Интерактивный ГА с адаптивными весами (i-awGA) [10].

Далее мы рассмотрим эти методы более подробно.

Задачи многокритериальной оптимизации

В практической деятельности часто встречаются задачи, заключающиеся в поиске лучшего (оптимального) решения при наличии различных несводимых друг к другу критериев оптимальности. Например, принятие решения о строительстве дороги в объезд города должно учитывать такие факторы, как выигрыш города в целом по соображениям экологии, проигрыш отдельных предприятий и фирм, например, из-за уменьшения проезжающих через город потенциальных покупателей и многие другие. Если такого рода задачи решаются методами математического программирования, то говорят о задачах многокритериальной оптимизации. Эти задачи могут носить как линейный, так и нелинейный характер. Поскольку методы решения таких задач излагаются ниже на примере линейных многокритериальных оптимизационных задач, это объясняет рассмотрение этой темы в данной главе учебного пособия.

Задачи многокритериальной оптимизации возникают в тех случаях, когда имеется несколько целей, которые не могут быть отражены одним критерием (например, стоимость и надежность). Требуется найти точку области допустимых решений, которая минимизирует или максимизирует все такие критерии. Если в подобного рода задачах речь идет не о разнородных критериях некоторой системы, а о сопоставлении однородных критериев разных ее подсистем (например, отрасли, группы населения и т.п.), то эти задачи называются задачами векторной оптимизации.

Обозначим 1-й частный критерий через , где — допустимое решение, а область допустимых решений — через Q. Если учесть, что изменением знака функции всегда можно свести задачу минимизации к задаче максимизации, то кратко задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать следующим образом:

(3.28)

(3.29)

Некоторые частные критерии могут противоречить друг другу, другие действуют в одном направлении, третьи — индифферентны, безразличны друг к другу. Поэтому процесс решения многокритериальных задач неизбежно связан с экспертными оценками как самих критериев, так и взаимоотношений между ними. Известен ряд методов решения задач многокритериальной оптимизации:

  • — оптимизация одного признанного наиболее важным критерия, остальные критерии при этом играют роль дополнительных ограничений;
  • — упорядочение заданного множества критериев и последовательная оптимизация по каждому из них (этот подход рассмотрен ниже на примере метода последовательных уступок;
  • — сведение многих критериев к одному введением экспертных весовых коэффициентов для каждого из критериев таким образом, что более важный критерий получает более высокий вес.
Читать еще:  Загрузка андроид оптимизация приложения

Возвращаясь к задаче многокритериальной оптимизации в общей постановке (3.28), (3.29), отмстим, что в идеальном случае можно вести поиск такого решения, которое принадлежит пересечению множеств оптимальных решений всех однокритериальных задач. Однако такое пересечение обычно оказывается пустым множеством, поэтому приходится рассматривать так называемое переговорное множество эффективных решений (оптимальных по Парето). Критерий оптимальности итальянского экономиста В. Парето применяется при решении таких задач, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, чтобы другие не ухудшались.

Определение 3.1. Векторназывается эффективным (оптимальным по Парето) решением задачи (3.28), (3.29), если не существует такого вектора , что

(3.30)

причем хотя бы для одного значения i имеет место строгое неравенство.

Множество допустимых решений, для которых невозможно одновременно улучшить все частные показатели эффективности (т.е. улучшить хотя бы один из них, не ухудшая остальных), принято называть областью Парето, или областью компромиссов, а принадлежащие ей решения — эффективными, или оптимальными по Парето.

В общем случае эффективные решения не эквивалентны друг другу, так что про два оптимальных по Парето решения нельзя сказать, какое из них лучше. Поэтому при решении многокритериальных задач необходимо дополнительное изучение эффективных решений. Для этого можно было бы сформулировать некоторый критерий и оптимизировать его на множестве эффективных решений. Однако при этом возникают значительные трудности в связи с тем, что, как правило, область компромиссов не является выпуклой, и полученная задача в общем случае будет задачей невыпуклого программирования. Обычный подход заключается в стремлении «свернуть» частные критерии в один обобщенный скалярный критерий, оптимизация которого приводит к оптимальному решению задачи в целом. Формулировка подходящего обобщенного критерия в зависимости от конкретных условий как раз и является основным вопросом, который изучается в многокритериальной оптимизации.

В некоторых случаях вместо одного обобщенного критерия и решения одной соответствующей задачи скалярной оптимизации предлагается рассматривать последовательность обобщенных критериев и последовательность задач скалярной оптимизации. К сожалению, многие из описанных в литературе подобных процедур не всегда приводят к эффективным решениям.

Рассмотрим один из таких методов решения многокритериальных задач — метод последовательных уступок.

Метод последовательных уступок решения задач многокритериальной оптимизации применяется в случае, когда частные критерии могут быть упорядочены в порядке убывания их важности. Предположим, что все частные критерии максимизируются и пронумерованы в порядке убывания их важности. Находим максимальное значение , первого по важности критерия в области допустимых решений, путем решения однокритериальной задачи

Затем, исходя из практических соображений и принятой точности, назначается величина допустимого отклонения 8, > 0 (экономически оправданной уступки) критерия Z, и находится максимальное значение второго критерия Z’2 при условии, что значение первого критерия не должно отклоняться от своего максимального значения более чем на величину допустимой уступки, т.е. решается задача:

Снова назначается величина уступки δ2 > 0 по второму критерию, которая вместе с первой уступкой используется для нахождения условного максимума третьего частого критерия:

Аналогичные процедуры повторяются до тех пор, пока не будет выявлено максимальное значение последнего по важности критерия Zm при условии, что значение каждого из первых т — 1 частных критериев отличается от соответствующего условного максимума не более чем на величину допустимой уступки по данному критерию. Полученное на последнем этапе решение считается оптимальным. Следует заметить, что этот метод не всегда приводит к эффективному решению.

Пример 3.7. Решение задачи многокритериальной оптимизации методом последовательных уступок.

Решение. Пусть задача трехкритериальной оптимизации имеет вид

(3.31)

(3.32)

(3.33)

(3.34)

Заметим, что так как коэффициенты при одних и тех же переменных в данных частных критериях имеют разные знаки, то в заданной области допустимых решений невозможно одновременно улучшить все частные критерии, т.е. в рассматриваемом случае область компромиссов (область Парето) совпадает с областью допустимых решений (3.34).

Для определенности будем считать, что допустимые уступки по первым двум критериям заданы: δ1 = 3; δ3 = 5/3.

Максимизируем функцию Z3 в области допустимых решений, т.е. решаем одну критериальную задачу (3.31), (3.34). Это несложно сделать рассмотренным в главе 2 графическим методом решения задач линейного программирования (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Максимум функции Z1 при условиях (3.34) достигается в точке А области Q с координатами (1; 4), так что в данном случае

Переходим к максимизации функции Z, при условиях (3.34) и дополнительном ограничении, позволяющем учесть, что по критерию Z, нельзя уступать более чем на δ1. Так как в нашем примере , то дополнительное ограничение будет иметь вид

(3.35)

Задачу (3.32), (3.34), (3.35) также решаем графически (рис. 3.4).

Получаем, что максимум функции Z2 при условиях (3.34), (3.35) достигается в точке В части Q, области Q, так что

Теперь уступаем по критерию Z2 на величину уступки 52= 5/3 и получаем второе дополнительное ограничение:

(3.36)

Максимизируем функцию Z3 при условиях (3.34), (3.35) и (3.36). Решение этой задачи представлено на рис 3.5.

Рис. 3.4

Рис. 3.5

Таким образом, получаем оптимальное решение рассматриваемой трехкритериальной задачи (точка С на рис. 3.5):

Соответствующие значения частных критериев при этом составляют:

Z1 = 4; Z2 = 7; Z3 = -7.

7.3. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

В главах 1-6 мы рассмотрели задачи, в которых требуется выбрать решение, доставляющее максимум (или минимум) единственного показателя эффективности (критерия) К. На практике часто возникает ситуация, когда эффективность операции приходится оценивать не по одному, а сразу по нескольким показателям kx, k2, . kL.

  • 1. Оценка деятельности завода: прибыль, средняя зарплата, объем производственных фондов.
  • 2. Оценка учебы студента: оценки по предметам.
  • 3. Военная операция: потери, вероятность выполнения задачи.
Читать еще:  Параметрическая оптимизация это

Одни из этих показателей необходимо сделать больше, другие меньше. Как правило, эффективность больших по объему сложных операций, а также сложных многоцелевых систем не может быть исчерпывающим образом охарактеризована одним показателем: на помощь ему приходится привлекать и другие, дополнительные показатели.

Главной особенностью этой ситуации является то, что требования ко всем показателям в реальных системах несовместимы или противоречивы. Как правило, требование max kx не обращает ни в максимум, ни в минимум другие показатели k2, k3, . Поэтому широко распространенная формулировка «достижение максимального эффекта при минимальных затратах» некорректна. Корректными являются следующие формулировки:

  • 1. Достижение максимального эффекта при заданных затратах.
  • 2. Достижение заданного эффекта при минимальных затратах.

Для сравнения значений векторов К = (klt k2, . kL) иногда удобно предварительно привести все показатели k2, kL к стандартному виду, чтобы все критерии минимизировались и чтобы они имели безразмерный масштаб измерения. Векторный критерий К считается стандартным, если он удовлетворяет условию k, > 0, и чем меньше kh тем лучше операция (система). Таким образом, идеальной является система, у которой k, = 0. Нестандартный показатель можно привести к стандартному.

Если kj —> max, то k-‘ J = /е/ пах — k,.

Если &/ пах =оо, то й, ст = —.

Стандартный критерий можно задать в виде отношения

где kp — идеальное значение критерия (либо определенное значение, либо max k,).

При этом в L-мерном пространстве задается вектор К, каждая компонента которого изменяется от 0 до 1. Полностью идеальной системе соответствует К = 0.

Прежде всего анализ векторов, соответствующих альтернативам из области допустимых альтернатив, позволяет заранее отбросить явно нерациональные варианты решений, уступающие лучшим вариантам по всем показателям. Этот этап векторной оптимизации называется безусловной оптимизацией.

Пусть анализируется боевая операция, оцениваемая по двум показателям:

Отображение вариантов решения в пространство критериев

kx — вероятность выполнения боевой задачи;

k2 — стоимость израсходованных средств.

Очевидно, первый из показателей желательно обратить в максимум, а второй — в минимум. Пусть предлагается на выбор конечное число различных вариантов решения, обозначим их Хх, Х2, . Хп. Для каждого известны значения kx,k2. Изобразим каждый вариант решения в виде точки на плоскости с координатами kx, k2. Когда X пробегают ОДР, точки kx, k2 заполняют критериальное пространство решений (рис. 56).

Итак, если некоторая операция оценивается несколькими критериями, каждый из которых число, то такая задача называется многокритериальной, или задачей векторной оптимизации. Для стандартных k она имеет вид

Существует принципиальная трудность в объективной (безусловной) оценке альтернатив при двух или более критериях. Она связана с проблемой сравнения двух векторов.

Безусловным критерием предпочтения называют критерий, основанный на сравнении компонент вектора. Два вектора критериев kAuk 3 безусловно сравнимы, если для любой 1-й. компоненты вектора выполняются неравенства

Если все kx —> min, то альтернатива В безусловно предпочтительнее (лучше) А. Это означает, что А никак не может быть оптимальной и поэтому должна быть отброшена. Если же знаки неравенств для различных компонент вектора различны, то такие альтернативы безусловно несравнимы.

Пример. Необходимо выбрать лучших по успеваемости студентов А, Б, В, Г, Д. Критериями служат оценки по предметам М, N, О, Р (табл. 42).

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Многокритериальные задачи в экономике

При практическом выборе экономических решений важным является случай, когда степень достижения цели, которую желательно оптимизировать (объем продукции, размер издержек и пр.), невозможно представить одной величиной. Существует многообразие целей. Задачи такого рода часто встречаются, когда в результате производственного процесса получается ряд различных продуктов, количества которых невозможно суммировать, или когда на производство влияет несколько факторов, количество которых невозможно выразить в одной единице измерения.

Будем полагать, что известны варьируемые экономические переменные х„ на значения которых наложены ограничения

где X — множество допустимых значений (альтернатив, вариантов, решений).

Предполагается, что множество Xзамкнуто.

Сравнение решений осуществляется не непосредственно, а при помощи заданных на Xчисловых функций и, . ит, называемых критериями. Критериями могут быть прибыль, издержки, время, количество продукции и т.п.

В общем случае многокритериальную задачу можно записать в виде отображения

где U с R M — множество значений критериев.

Здесь можно заметить, что критерии бывают качественными и количественными. Для определения типа критерия задается множество допустимых преобразований.

Функция ср называется допустимым преобразованием критерия и„ если ф(м,) вновь оказывается критерием, измеряющим то же свойство. Если критерием, например, является время, то его можно представлять в секундах, минутах, часах, годах. Время является количественным критерием, множеством допустимых преобразований в данном случае является

С помощью этого критерия можно сравнивать, во сколько раз время изготовления одного изделия больше времени изготовления другого изделия, причем в различных единицах измерения.

Рассмотрим другой пример. Известно, что знания студента можно оценить по пяти-, десяти- или 100-балльной шкале. Если сравнивать знания студентов по данной дисциплине, то нельзя сказать, во сколько раз знания одного студента лучше, чем другого. Множество допустимых преобразований в этом случае является множество всех неубывающих функций. Критерии с таким множеством допустимых преобразований являются качественными.

Качественные критерии не всегда правильно используются на практике. Пусть при сравнении успеваемости студентов Л и В по двум равнозначным дисциплинам были использованы следующие данные: студент А получил 70 баллов по линейной алгебре и 70 баллов по математическому анализу (по 100-балльной шкале), что соответствует оценкам 4 по пятибалльной шкале. Студент В был соответственно оценен в 48 и 100 баллов по 100- балльной шкале, что соответствует двум и пяти баллам по пятибалльной шкале. В результате получаем, что по 100-балльной шкале лучше второй студент: 70 + 70 2 + 5.

В дальнейшем будем рассматривать только количественные критерии.

Рассмотрим теперь несколько примеров на составление моделей многокритериальных задач.

Пример 11.1. Рекламное агентство, в штате которого десять человек, получило заказ на рекламу нового продукта на радио и ТВ. Данные о рекламной аудитории, стоимости рекламы и количестве занятых при ее изготовлении агентов заданы в таблице.

Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector
×
×