Green-sell.info

Новые технологии
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Математические модели оптимизации

Математическое моделирование. Математическая модель в задачах оптимизации. Элементарные математические модели

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования . Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его «образом» — математической моделью — и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам (преимущества эксперимента). Неудивительно, что методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы — от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и не случайно, что некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев науки, как Ньютон и Эйлер, а слово » алгоритм » происходит от имени средневекового арабского ученого Аль-Хорезми. Второе «рождение» этой методологии пришлось на конец 40-х—начало 50-х годов XX века и было обусловлено по крайней мере двумя причинами. Первая из них — появление ЭВМ (компьютеров), хотя и скромных по нынешним меркам, но тем не менее избавивших ученых от огромной по объему рутинной вычислительной работы. Вторая — беспрецедентный социальный заказ — выполнение национальных программ СССР и США по созданию ракетно-ядерного щита, которые не могли быть реализованы традиционными методами. Математическое моделирование справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были предварительно «осуществлены» в недрах ЭВМ с помощью математических моделей и лишь затем претворены на практике. Этот успех во многом определил дальнейшие достижения методологии, без применения которой в развитых странах ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект теперь всерьез не рассматривается (сказанное справедливо и по отношению к некоторым социально-политическим проектам).

Сейчас математическое моделирование вступает в третий принципиально важный этап своего развития, «встраиваясь» в структуры так называемого информационного общества. Впечатляющий прогресс средств переработки, передачи и хранения информации отвечает мировым тенденциям к усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными «ресурсами» нельзя и думать о решении все более укрупняющихся и все более разнообразных проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако информация как таковая зачастую мало что дает для анализа и прогноза, для принятия решений и контроля за их исполнением. Нужны надежные способы переработки информационного «сырья» в готовый «продукт», т.е. в точное знание . История методологии математического моделирования убеждает: она может и должна быть интеллектуальным ядром информационных технологий, всего процесса информатизации общества.

На первом этапе выбирается (или строится) «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т.д. Математическая модель (или ее фрагменты) исследуется теоретическими методами , что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.

Второй этап — выбор (или разработка) алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров.

На третьем этапе создаются программы, «переводящие» модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. К ним также предъявляются требования экономичности и адаптивности. Их можно назвать «электронным» эквивалентом изучаемого объекта, уже пригодным для непосредственного испытания на «экспериментальной установке» — компьютере.

Создав триаду «модель— алгоритм — программа «, исследователь получает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах. После того как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту удостоверена, с моделью проводятся разнообразные и подробные «опыты», дающие все требуемые качественные и количественные свойства и характеристики объекта. Процесс моделирования сопровождается улучшением и уточнением, по мере необходимости, всех звеньев триады.

Будучи методологией, математическое моделирование не подменяет собой математику, физику, биологию и другие научные дисциплины, не конкурирует с ними. Наоборот, трудно переоценить его синтезирующую роль. Создание и применение триады невозможно без опоры на самые разные методы и подходы — от качественного анализа нелинейных моделей до современных языков программирования. Оно дает новые дополнительные стимулы самым разным направлениям науки.

Рассматривая вопрос шире, напомним, что моделирование присутствует почти во всех видах творческой активности людей различных «специальностей» — исследователей и предпринимателей, политиков и военачальников. Привнесение в эти сферы точного знания помогает ограничить интуитивное умозрительное » моделирование «, расширяет поле приложений рациональных методов. Конечно же, математическое моделирование плодотворно лишь при выполнении хорошо известных профессиональных требований: четкая формулировка основных понятий и предположений, апостериорный анализ адекватности используемых моделей, гарантированная точность вычислительных алгоритмов и т.д. Если же говорить о моделировании систем с участием «человеческого фактора», т.е. трудноформализуемых объектов, то к этим требованиям необходимо добавить аккуратное разграничение математических и житейских терминов (звучащих одинаково, но имеющих разный смысл), осторожное применение уже готового математического аппарата к изучению явлений и процессов (предпочтителен путь «от задачи к методу», а не наоборот) и ряд других.

Решая проблемы информационного общества , было бы наивно уповать только на мощь компьютеров и иных средств информатики. Постоянное совершенствование триады математического моделирования и ее внедрение в современные информационно-моделирующие системы — методологический императив . Лишь его выполнение дает возможность получать так нужную нам высокотехнологичную, конкурентоспособную и разнообразную материальную и интеллектуальную продукцию.

Математическое моделирование и оптимизация. Этапы построения математической модели. Методы оптимизации

Страницы работы

Содержание работы

Математическое моделирование и оптимизация

Объект – это часть среды, выделенная человеком с целью воздействия на него и получения желаемого результата. Объект связан со средой входными и выходными параметрами. Выходной параметр (Y) выдает информацию о состоянии объекта. Входные параметры (x1, x2, N) изменяют состояние объекта, т. е. вход – причина, выход – следствие.

Читать еще:  Оптимизация андроид при включении

Входные параметры бывают:

1. управляющие (например, x1), которые можно измерить и изменить;

2. возмущающие (например, x2), которые можно только измерить, а изменить нельзя;

3. помехи (N) – нельзя ни измерить, ни изменить.

МОДЕЛЬ – это упрощенное отображение оригинала. Модели бывают физические, описательные и математические.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ – устанавливает связь между входными и выходными параметрами в виде математического уравнения или системы уравнений.

Рассмотрим решение некоторых инженерных задач с использованием математических моделей.

1. Задача управления решается в 4 этапа:

1. Сбор информации о состоянии объекта и целях управления.

2. Анализ полученной информации.

3. Принятие решений на управление.

4. Реализация принятого решения.

,

цель управления: .

Алгоритм уравнения

— математическая модель

АЛГОРИТМ – обратная модель объекта, т.е. для эффективного управления объектами необходимо иметь математическую модель объекта.

2. Задача обучения персонала

3 уровня обученности:

1) Знания – обучаемый может воспроизвести ранее полученные теоретические знания.

2) Умения – обучаемый умеет решать практические задачи на основе ранее полученных знаний.

3) Навыки – обучаемый, не задумываясь, «автоматически» решает практически.

Уровень знаний и умений достигается в ходе лекционных лабораторных и практических занятий. Уровень навыков может достичь многократной тренировкой. Тренировку модно осуществить на реальном объекте или тренажере. Последнее предпочтительнее по экономическим соображениям.

Для отработки моторных навыков созданы различные виды тренажеров: от механических до компьютера.

Для отработки интеллектуальных навыков нужны тренажеры – имитаторы объекта, позволяющие имитировать расчетные задачи (интеллектуальные задачи). Это можно осуществить только с использованием математических моделей объекта и компьютерной техники.

– метод проб и ошибок

– схема обучения на моделе – имитаторе

ТРЕНАЖЕР – это модель – имитатор, оснащенная системой представления информации, идентичной объекту.

Таким образом, в современных условиях обучение, повышение квалификации технологического персонала лучше всего проводить на тренажерах, в основе которых лежит математическая модель объекта.

3. Задача организации и планирования производства

Например, организация планирования производства тортов.

Оптимизационные модели

Автор: Андрей Нестеров ✔ 25.12.2016

Нестеров А.К. Оптимизационные модели // Энциклопедия Нестеровых

Рассмотрим задачи, элементы оптимизационных моделей и этапы их построения.

Понятие оптимизационных моделей

Экономико-математические задачи, преследующие цель определить оптимальный вариант использования имеющихся ресурсов при соблюдении определенных условий, относят к разряду оптимизационных. Такие задачи решаются с помощью оптимизационных моделей. Структура оптимизационных моделей состоит из целевой функции, множества допустимых решений и заданной системы ограничений, которые определяют область возможных решений.

Целевая функция оптимизационной модели включает в себя управляемые переменные, неуправляемые переменные и формы функции.

Множество допустимых решений – это область возможных вариантов решения оптимизационной задачи, в пределах которой осуществляется выбор решений.

Заданная система ограничений в экономических задачах представляется имеющимися в наличии ресурсами и условиями их возможного использования в целях решения оптимизационной задачи. Система ограничений формализуется в виде уравнений и неравенств. Ограничения в оптимизационных моделях могут быть линейными и нелинейными, детерминированными и стохастическими.

Задачи построения оптимизационных моделей

Основная задача построения оптимизационных моделей заключается в нахождении экстремума функций при заданных ограничениях в виде систем уравнений и неравенств. Учитывая, что в рамках современных экономических систем большинство процессов являются массовыми и описываются сложными закономерностями, построение оптимизационных моделей позволяет охарактеризовать любой процесс с помощью математических уравнений и рационального подхода к моделированию.

Оптимизационные модели предназначены для выявления наилучшего решения при соблюдении заранее заданных, определенных и конкретизированных условий и ограничений. Оптимизационная модель описывается с помощью целевой функции, имеющей много аргументов. В ходе оптимизации с помощью сконструированной функции перебирается все множество значений аргументов поочередно до тех пор, пока значение функции станет удовлетворять поставленным условиям в рамках оптимизационной модели. В оптимизационную модель должен обязательно входить один или несколько параметров, на которые можно оказывать влияние, чтобы добиться соблюдения условиям оптимума при наличии определенных ограничений.

Оптимизационные модели позволяют посредством анализа совокупности альтернативных вариантов решений определить наилучший вариант производства, распределения или потребления в условиях ограниченности имеющихся ресурсов, которые будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели, что является экономическим содержанием данных моделей.

В оптимизационных моделях объектом моделирования может выступать:

  • склад предприятия,
  • выпуск новой продукции,
  • транспортировка готовой продукции и т.п.

Анализ ситуации, составляющей основу оптимизационной модели, сводится к оценке функционирования объекта моделирования, например, оптимизация работы склада предприятия должна учитывать скорость сбыта готовой продукции, размеры склада, объем оборотных средств. В зависимости от оптимизационной модели ненаблюдюдаемые параметры, включающие целевые значения функции и основных переменных, должны быть определены таким образом, чтобы обеспечить возможность рационального и обоснованного управления экономическими процессами. В то же время наблюдаемые параметры, которые сводятся к совокупности условий и ограничений, создают граничные условия для искомых значений функции.

Адекватность оптимизационной модели должна быть обеспечена таким образом, чтобы полностью или практически полностью характеризовать действительное функционирование объекта моделирования. Математический аппарат оптимизационной модели должен соответствовать описанию конкретного экономического процесса, например, отражать аналитические связи между основными параметрами функционирования склада готовой продукции на предприятии.

Это позволяет обеспечить достоверный анализ результатов моделирования выбранного объекта, которому подвергается совокупность всех оптимальных значений основных переменных и целевой функции, найденных в ходе перебора значений аргументов. На основе результатов такого анализа могут быть сделаны соответствующие выводы, благодаря которым принимается обоснованное оптимальное решение по управлению экономическим объектом или отдельным процессом.

Таким образом, следует сделать вывод:

Оптимизационные модели не являются единственным источником знаний о конкретном объекте, напротив, моделирование составляет более обширный и глубокий процесс познания особенностей функционирования объекта. Этот факт учитывается не только в рамках построения модели, но и при интерпретации полученных результатов, которые могут быть применены к объекту моделирования.

Элементы оптимизационной модели

Построение оптимизационной модели предваряет определение ее элементов. К обязательным элементам оптимизационной модели относятся переменные параметры конкретного экономического процесса, ограничения задачи и критерий оптимальности.

Элементы оптимизационной модели

Описание элементов оптимизационной модели приведено в таблице.

Математические модели оптимизации

При наличии ограничений, помимо точек экстремума проверяют граничные значения функции. Например, для функции из 2-ого примера f(x) = x 3 – 2x 2 + x + 1 требуется найти максимум при ограничениях x ≥ -2 и x ≤ 3. Тогда помимо точек экстремума x1 = 1/3 (f(x1) = 1.15) и x2 = 1 (f(x2) = 1), проверяем значения функции в точках x3 = -2 (f(x3) = -17) и x4 = 3 (f(x4) = 13). Таким образом, искомое оптимальное значение функции в точке x4 = 3.

Читать еще:  Построение линейных оптимизационных моделей

13.3. Математическое программирование (исследование операций)

Если исходная функция не имеет первой производной (не дифференцируема), невозможно найти корни уравнения f’(x) = 0 или система ограничений имеет сложный вид, то на помощь может прийти математическое программирование.

Наиболее известными и эффективными методами математического программирования являются методы линейного программирования, когда целевая функция и все ограничения являются линейными функциями. Для решения математических моделей других типов предназначены методы дискретного программирования (если все переменные должны принимать только дискретные или целочисленные значения), динамического программирования (когда исходную задачу можно разбить на меньшие подзадачи) и нелинейного программирования (когда целевая функция и/или ограничения являются нелинейными функциями). Перечисленные методы составляют только часть из большого количества самых разнообразных доступных методов исследования операций.

Практически все методы математического программирования не позволяют получить решение в замкнутой форме (в виде формул). Напротив, они порождают вычислительные алгоритмы, которые являются итерационными по своей природе. Это означает, что задача решается последовательно (итерационно), когда на каждом шаге (итерации) получаем решения, постепенно сходящиеся к оптимальному. Итерационная природа алгоритмов обычно приводит к объемным однотипным вычислениям. В этом и заключается причина того, что эти алгоритмы разрабатываются, в основном, для реализации с помощью вычислительной техники [4].

13.4. Имитационное моделирование

Несмотря на впечатляющие достижения математического программирования, многие реальные ситуации невозможно адекватно представить с помощью соответствующих математических моделей. Часто в этом «виновата» определенная «жесткость» математики как языка описания и представления событий и явлений. Но даже если существует возможность формализовать рассматриваемую жизненную ситуацию посредством построения математической модели, полученная на ее основе задача оптимизации может быть слишком сложной для современных алгоритмов решения задач этого класса. Альтернативой математическому моделированию сложных систем может служить имитационное моделирование. Различие между математической и имитационной моделями заключается в том, что в последней отношение между «входом» и «выходом» может быть явно не задано. Вместо явного математического описания взаимоотношения между входными и выходными переменными математической модели, при имитационном моделировании реальная система разбивается на ряд достаточно малых (в функциональном отношении) элементов или модулей. Затем поведение исходной системы имитируется как поведение совокупности этих элементов, определенным образом связанных (путем установки соответствующих взаимосвязей) в единое целое. Вычислительная реализация такой модели начинается с входного элемента, далее проходит по всем элементам, пока не будет достигнут выходной элемент.

Имитационные модели значительно гибче в представлении реальных систем, чем их математические «конкуренты», но за гибкость приходится платить высокими требованиями к потребляемым временным и вычислительным ресурсам. Поэтому реализация некоторых имитационных моделей даже на современных быстрых и высокопроизводительных компьютерах может быть очень медленной [35].

13.5. Эвристический подход к оптимизации

Некоторые модели могут быть такими сложными, что их невозможно решить никакими доступными методами оптимизации. В этом случае остается только эвристический подход: поиск подходящего «хорошего» решения вместо оптимального. Эвристический подход предполагает наличие эмпирических правил, в соответствии с которыми ведется поиск подходящего решения [35].

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение понятиям: «оптимизация» и «экстремум».

НОУ «Математическое моделирование при решении многокритериальных задач на оптимизацию.»

Как организовать дистанционное обучение во время карантина?

Помогает проект «Инфоурок»

АДМИНИСТРАЦИИ ГОРОДА НИЖНЕГО НОВГОРОДА

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

Научное общество учащихся

Математическое моделирование при решении многокритериальных задач на оптимизацию.

Выполнил: Огарков Александр

ученик 9 «а» класса

Руководитель: Китаева М.В.

ГЛАВА I Теоретическая часть

1.1 Математическая модель объекта проектирования…………………. 5

Характеристика типовых задач математического

моделирования и подходов к их решению…………………………. 8

1.3 Компоненты принятия решений………………….…………………. 11

1.4 Теория решения многокритериальной задачи с помощью

метода оптимального выбора…………………….…..………. …. 13

Теория метода многокритериальной оптимизации по Парето…. 14

ГЛАВА II Практическая часть

Решение задач на МКО по методу оптимального выбора

Говорят, самое сложное –

это сделать правильный выбор .

На протяжении всей истории человечества люди при необходимости принимать решения прибегали к сложным ритуалам. Они устраивали торжественные церемонии, приносили в жертву животных, гадали по звёздам и следили за полётом птиц. Они полагались на народные приметы и старались следовать примитивным правилам, облегчающим им трудную задачу принятия решений.

Таким образом, необходимость принятия решений так же стара, как и само человечество. Несомненно, уже в доисторические времена первобытные люди, отправляясь, скажем, охотится на мамонта, должны были принимать те или иные решения: в каком месте устроить засаду? Как расставить охотников? Чем их вооружить?

Процессы принятия решений лежат в основе любой целенаправленной деятельности человека. Следовательно, от науки требуются рекомендации по оптимальному (разумному) принятию решений. Прошло то время, когда правильное, эффективное решение находилось «на ощупь», методом «проб и ошибок». Сегодня для выработки такого решения требуется научный подход – слишком велики потери, связанные с ошибками. Оптимальные решения позволяют достичь цели при минимальных затратах трудовых, материальных и сырьевых ресурсах. Таким образом, анализу и методам принятия оптимальных решений (эффективных решений) в настоящее время уделяется большое внимание.

Школа является частью современного общества, но понятия и категории, употребляемые в реальной жизнедеятельности людей, имеют размытые, нечеткие границы, что в настоящее время не учитывается в школьных задачах, ведь учась в школе, школьники привыкают к точным решениям, прямому перебору и пересчёту различных альтернатив, как правило, пренебрегая качественной оценкой ситуации. Поэтому выпускники школ часто теряются, сталкиваясь с реальной действительностью.

Таким образом, для эффективного решения любой задачи необходимо в первую очередь построить многокритериальную математическую модель, которую затем нужно оптимизировать, предварительно выбрав наиболее подходящий для этого метод.

Рассмотреть основные положения математического моделирования, используемые при решении задач многокритериальной оптимизации с реальным содержанием, которые помогут научиться качественно оценивать ситуацию, делать выбор среди нескольких альтернативных вариантов.

— дать определение понятию «многокритериальная оптимизация» с точки зрения математического моделирования;

— рассмотреть два метода решения задач многокритериальной оптимизации (метод оптимизационного выбора и метод Парето).

— решить практические задачи, используя данные методы.

— определить существующие проблемы решения задач многокритериальной оптимизации.

Методы поиска оптимальных решений рассматривают в разделах классической математики, связанных с изучением экстремумов функций, в математическом программировании.

Решением таких задач оптимизации является математический объект, для которого ясен критерий (показатель эффективности) по которому проводится оценка эффективности проектируемого объекта, т.е. требуется обратить в min (max) один единственный показатель.

Читать еще:  Оптимизация приложений что это такое

К сожалению, такие задачи на практике встречаются редко. Когда идёт речь о проектировании таких объектов как самолёт, технологический процесс, то их эффективность, как правило, не может быть полностью оценена с помощью единственного показателя. Приходится рассматривать дополнительные критерии (показатели эффективности). Чем больше критериев качества вводится в рассмотрение, тем более полную характеристику достоинств и недостатков проектируемого объекта можно получить. Таким образом, задачи проектирования сложных систем всегда многокритериальны , так как при выборе наилучшего варианта приходится учитывать много различных требований, предъявленных к системе (объекту).

Прежде чем сформулировать задачу оптимизации введём и рассмотрим некоторые понятия.

1.1 Математическая модель объекта проектирования.

1 . Определение основных понятий математического моделирования и характеристика этапов создания математической модели.

Под моделированием понимают процесс построения, изучения и применения моделей.

Модель – это материальный тип или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение даёт новые знания об объекте оригинале.

Математическая модель — математическое описание физического объекта процесса или явления, выражающее состояние его внутренней динамики взаимодействия и свойства, это приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное с помощью математической символики.

В математических методах широко применяются как аналитические, так и статистические модели.

Аналитические модели более грубы, учитывать меньшее число факторов, всегда требует каких-то допущений и упрощений.

Статистические модели по сравнению с аналитическими более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большее количество факторов.

Операции – всякое мероприятие, система действий, объединенных единым замыслом и направлением к достижению какой-либо цели. Операция является управляемым мероприятием, то есть от нас зависти, каким способом выбрать некоторые параметры, характеризующие ее организацию.

Исследование операций – совокупность прикладных математических методов, используемых для решения практических организационных задач.

Решение — это всякий определенный набор зависящих от нас параметров.

Оптимальные решения — решения, по тем или иным признакам предпочтительнее перед другими.

Допустимые решения это решения, удовлетворяющие системе ограничений и требованию неотрицательности.

Допустимый план такой вариант плана, который удовлетворяет всем заданным ограничениям задачи, но не обязательно оптимальный.

Оптимальный план допустимый план, который удовлетворяет условиям максимизации или минимизации (в зависимости от условия задачи).

Целевая функция — функция переменных, от которых зависит достижение оптимального состояния системы.

Математическое моделирование – метод изучения внешнего мира, а также прогнозирования и управления.

Процесс математического моделирования можно подразделить на четыре этапа.

Первый этап – формулировка законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи.

Второй этап – исследование математических задач, к которым приводят построенные математические модели.

Третий этап – выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики.

Четвертый этап – последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизации модели.

2 . Основные этапы математического моделирования.

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи , при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

3 . Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов.

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

1. 2 Характеристика типовых задач математического моделирования и подходов к их решению.

Задачи моделирования делятся на две категории: прямые и обратные .

Прямые задачи отвечают на вопрос, что будет, если при заданных условиях мы выберем какое-то решение из множества допустимых решений. В частности, чему будет равен, при выбранном решении критерий эффективности.

Обратные задачи отвечают на вопрос: как выбрать решение из множества допустимых решений, чтобы критерий эффективности обращался в максимум или минимум.

Если число допустимых вариантов решения невелико, то можно вычислить критерий эффектности для каждого из них, сравнить между собой полученные значения и непосредственно указать один или несколько оптимальных вариантов. Такой способ нахождения оптимального решения называется «простым перебором». Когда число допустимых вариантов решения велико, то поиск оптимального решения простым перебором затруднителен, а зачастую практически невозможен. В этих случаях применяются методы «направленного» перебора, обладающие той особенностью, что оптимальное решение находится рядом последовательных попыток или приближений, из которых каждое последующие приближает нас к искомому оптимальному.

Модели принятия оптимальных решений отличаются универсальностью. Их можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) критерия эффективности, компоненты которого удовлетворяют системе ограничений (равенств и/или) неравенств.

Их можно разделить на:

принятие решений в условиях определенности — исходные данные — детерминированные ; принятие решений в условиях неопределенности — исходные данные — случайные величины .

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector